Comment prouver quelque chose ? Qu'est-ce qu'une preuve ?

Dans la science, le mot « preuve » est utilisé rarement et avec beaucoup de précautions. Les scientifiques acceptent que le monde naturel est plein de surprises, et ce qui semble vrai peut avoir des exceptions.

Devant les tribunaux, la preuve comprend souvent une mise en garde, comme « selon la prépondérance des probabilités » pour les affaires civiles, et « au-delà de tout doute raisonnable » pour les affaires pénales.

Mais pour des mathématiciens comme le Dr Nick Beaton de l'Université de Melbourne, Professeur Jan de Gier et Professeur Tony Guttmann, "au-delà de tout doute raisonnable" n'est tout simplement pas suffisant. Pour eux, une preuve mathématique est « hors de tout doute » — et c'est une chose de toute beauté.

Considérons le théorème de Pythagore.

Nous apprenons tous à l'école que le carré du côté le plus long d'un triangle rectangle est la somme des carrés des deux autres côtés. Vous pouvez tester cela avec un morceau de papier, une règle et une calculatrice, et tu verras que c'est vrai.

Vous pourriez faire cela pour mille triangles et vous verrez que c'est vrai pour chacun de ces mille triangles.

Mais le théorème de Pythagore fonctionne-t-il pour tous les triangles rectangles possibles ?

Vous ne pouvez pas mesurer tous les triangles rectangles qui existent, donc la méthode de la règle et de la calculatrice ne peut pas définitivement donner raison à Pythagore.

"Vous faites beaucoup de simulations et vous observez une certaine chose numériquement, et si vous observez cela encore et encore, vous penserez que c'est probablement toujours le cas, ou c'est vrai, " dit le Dr Nick Beaton.

"Mais ce n'est pas tout à fait la même chose que d'avoir une preuve mathématique où vous pouvez réellement logiquement montrer qu'une certaine chose se produit toujours à certaines valeurs des paramètres."

Sans preuve mathématique formelle, nous appelons quelque chose comme le théorème de Pythagore une conjecture.

Le professeur De Gier dit qu'une conjecture en mathématiques est un résultat que tout le monde croit être vrai.

"Mais cela n'a pas été prouvé logiquement dans un sens rigoureux, " il dit.

"Donc, il peut y avoir beaucoup de preuves numériques et il peut y avoir des arguments forts et convaincants, mais ils n'établissent pas une vérité hors de doute.

"Un bon exemple est l'hypothèse de Riemann sur les zéros de la fonction zêta, qui a été vérifié pour les 10 premiers, 000, 000, 000, 000 (dix mille milliards) de cas. Une preuve que c'est vrai pour chaque cas manque encore et vaut un million de dollars, " dit le professeur De Gier.

« Prouver que cela ferait la lumière sur de nombreux mystères entourant la distribution des nombres premiers. »

"Et parfois, quelque chose a l'air très convaincant mais ensuite c'est montré, une fois que vous avez approfondi les moindres détails, que cela ne tient pas et il peut y avoir des exceptions."

Wikipedia a même une catégorie pour "Conjectures réfutées" - certaines, comme la conjecture d'Euler, résisté pendant des centaines d'années avant d'être réfuté.

Dans le cas du théorème de Pythagore, cependant, la preuve est avec nous depuis des milliers d'années. En réalité, Pythagore n'a pas inventé la formule, c'était connu bien avant lui. Il est venu avec la première preuve connue.

La preuve de Pythagore utilise le fait incontestable que tout triangle rectangle peut être représenté par deux carrés, l'un dans l'autre, avec les coins du carré intérieur touchant le bord de l'extérieur.

Le carré intérieur a des côtés de longueur c (la longueur réelle n'a pas d'importance car c peut être n'importe quel nombre positif), le carré extérieur a une longueur a+b, et le triangle qu'il forme a des côtés a, b et c (comme indiqué).

La modification de l'angle du carré intérieur modifie les longueurs des trois valeurs.

Pythagore a montré qu'en réarrangeant les triangles à l'intérieur du carré, la zone blanche, représenté par c² dans le schéma ci-dessus, devient deux carrés, une de surface a² et une de surface b². D'où, c² est toujours, peu importe les dimensions que vous utilisez, égal à a²+b².

Depuis Pythagore, les mathématiciens à travers les âges ont continué à trouver des preuves du théorème. En 1940, Le mathématicien américain Elisha Scott Loomis a publié une collection de preuves du théorème de Pythagore.

L'équipe de l'Université de Melbourne n'est pas étrangère aux preuves.

L'Australian Mathematical Society a décerné le prix Gavin Brown 2018 du meilleur article au Dr Beaton, Professeur de Gier et Professeur Guttman, avec Mireille Bousquet-Mélou de l'Université de Bordeaux en France et Hugo Duminil-Copin de l'Université de Genève en Suisse, pour une preuve mathématique de 2015 de l'existence et de la tension superficielle critique pour l'adsorption de polymères (molécules à longue chaîne) en solution.

L'équipe a utilisé une représentation mathématique d'un polymère, appelé « marche sans auto-évitement, " qui sont des objets utilisés dans une branche de la physique mathématique appelée mécanique statistique.

"Une marche auto-évitante est une marche sur un treillis - très souvent un treillis carré ou un treillis en nid d'abeilles - où vous ne pouvez revenir sur aucune des étapes que vous avez prises, " dit le professeur Guttmann.

"Vous pouvez considérer une marche comme un seul polymère, avec des propriétés aléatoires."

Le Dr Beaton dit que, souvent, trouver une preuve mathématique pour une conjecture est long, processus difficile, impliquant des essais et des erreurs, travail de grognement et le moment eurêka occasionnel.

Pour Pythagore, le moment eurêka était la représentation carré sur carré du triangle; pour l'équipe de Melbourne et leurs collègues, il s'agissait de trouver la meilleure façon de traiter mathématiquement le caractère aléatoire.

"Les gens ont essayé quelques choses quand il a été conjecturé pour la première fois, mais personne n'a fait beaucoup de progrès, il était donc clair qu'une nouvelle idée était nécessaire, mais ce que devrait être cette nouvelle idée n'était pas évident, " dit le professeur De Gier.

Après avoir suivi quelques impasses, l'équipe s'est concentrée sur une nouvelle idée en mathématiques associée aux modèles en treillis, appelé "holomorphicité discrète, " qui a été popularisé par le chercheur russe, le professeur Stanislav Smirnov, qui a remporté la médaille Fields pour des découvertes exceptionnelles en mathématiques en 2010.

En utilisant ce nouveau type de mathématiques, l'équipe de Melbourne a découvert que le réseau en nid d'abeille était le bon réglage pour prouver leur problème de polymère.

"Pour certaines raisons, les mathématiques des marches auto-évitantes sur un réseau en nid d'abeille ont bien fonctionné, " dit le professeur de Gier.

"Si vous voulez faire cela sur un réseau carré, ça ne marche pas, mais pour d'autres problèmes, le treillis carré serait mieux."

Le professeur de Gier dit qu'une démonstration mathématique n'est pas qu'un exercice intellectuel, il peut nous dire des choses fondamentales sur la nature.

"Il est intéressant de savoir qu'il se passe quelque chose ou où cela se passe, mais avoir ce raisonnement logique est plus intéressant car cela donne un aperçu de la raison pour laquelle les choses se passent comme elles le font. »