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    Comment trouver une équation exponentielle avec deux points

    Si vous connaissez deux points qui tombent sur une courbe exponentielle particulière, vous pouvez définir la courbe en résolvant la fonction exponentielle générale en utilisant ces points. En pratique, cela signifie substituer les points pour y et x dans l'équation y = ab x. La procédure est plus facile si la valeur x pour l'un des points est 0, ce qui signifie que le point est sur l'axe des ordonnées. Si aucun point n'a une valeur x nulle, le processus de résolution pour x et y est un peu plus compliqué.

    Pourquoi les fonctions exponentielles sont-elles importantes?

    Beaucoup de systèmes importants suivent des modèles exponentiels de croissance et pourriture. Par exemple, le nombre de bactéries dans une colonie augmente habituellement de façon exponentielle, et le rayonnement ambiant dans l'atmosphère suite à un événement nucléaire diminue habituellement de façon exponentielle. En prenant des données et en traçant une courbe, les scientifiques sont dans une meilleure position pour faire des prédictions.

    D'une paire de points à un graphique

    N'importe quel point sur un graphe bidimensionnel peut être représenté par deux nombres, qui sont généralement écrits sous la forme (x, y), où x définit la distance horizontale à partir de l'origine et y représente la distance verticale. Par exemple, le point (2, 3) est deux unités à la droite de l'axe des y et trois unités au-dessus de l'axe des x. D'autre part, le point (-2, -3) est deux unités à gauche de l'axe des ordonnées. et trois unités sous l'axe des x.

    Si vous avez deux points, (x 1, y 1) et (x 2, y 2), vous peut définir la fonction exponentielle qui passe par ces points en les substituant dans l'équation y = ab x et en résolvant a et b. En général, vous devez résoudre cette paire d'équations:

    y 1 = ab x1 et y 2 = ab x2,.

    Dans cette forme, les maths ont l'air un peu compliqué, mais ça en a l'air moins après avoir fait quelques exemples.

    Un point sur l'axe X

    Si l'une des valeurs x - - disons x 1 - est 0, l'opération devient très simple. Par exemple, résoudre l'équation pour les points (0, 2) et (2, 4) donne:

    2 = ab 0 et 4 = ab 2. Puisque nous savons que b 0 = 1, la première équation devient 2 = a. La substitution de a dans la seconde équation donne 4 = 2b 2, que nous simplifions à b 2 = 2, ou b = racine carrée de 2, ce qui équivaut à environ 1,41. La fonction de définition est alors y = 2 (1.41) x.

    Aucun point sur l'axe X

    Si aucune valeur x n'est nulle, la résolution de la paire d'équations est légèrement plus encombrant. Henochmath nous montre un exemple facile pour clarifier cette procédure. Dans son exemple, il a choisi la paire de points (2, 3) et (4, 27). Cela donne la paire d'équations suivante:

    27 = ab 4

    3 = ab 2

    Si vous divisez la première équation par la seconde, vous obtenez

    9 = b 2

    donc b = 3. Il est possible que b soit aussi égal à -3, mais dans ce cas, supposons qu'il soit positif.

    Vous pouvez substituer cette valeur à b dans l'une ou l'autre équation pour obtenir a. Il est plus facile d'utiliser la deuxième équation, donc:

    3 = a (3) 2 qui peut être simplifié à 3 = a9, a = 3/9 ou 1/3.

    L'équation qui passe par ces points peut être écrite comme y = 1/3 (3) x.

    Un exemple du monde réel

    Depuis 1910, la croissance de la population humaine a Les scientifiques sont en meilleure position pour prédire et planifier l'avenir. En 1910, la population mondiale était de 1,75 milliard d'habitants et en 2010, de 6,87 milliards. Prenant 1910 comme point de départ, cela donne la paire de points (0, 1.75) et (100, 6.87). Parce que la valeur x du premier point est zéro, nous pouvons facilement trouver un.

    1.75 = ab 0 ou a = 1.75. Brancher cette valeur, avec celles du second point, dans l'équation exponentielle générale produit 6,87 = 1,75b 100, ce qui donne la valeur de b comme la centième racine de 6,87 /1,75 ou 3,93. Donc l'équation devient y = 1,75 (racine du centième de 3,93) x. Bien qu'il faille plus qu'une simple règle pour faire cela, les scientifiques peuvent utiliser cette équation pour projeter les chiffres de la population future afin d'aider les politiciens dans le présent à créer des politiques appropriées.

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