L'algèbre implique souvent de simplifier les expressions, mais certaines expressions sont plus confuses à gérer que d'autres. Les nombres complexes impliquent la quantité connue sous le nom i
, un nombre "imaginaire" avec la propriété i
\u003d √ − 1. Si vous devez simplement une expression impliquant un nombre complexe, cela peut sembler intimidant, mais c'est un processus assez simple une fois que vous avez appris les règles de base.

TL; DR (trop long; n'a pas lu)

Simplifiez les nombres complexes en suivant les règles de l'algèbre avec les nombres complexes.
Qu'est-ce qu'un nombre complexe?

Les nombres complexes sont définis par leur inclusion du terme i
, qui est la racine carrée de moins un. En mathématiques de base, les racines carrées des nombres négatifs n'existent pas vraiment, mais elles apparaissent parfois dans des problèmes d'algèbre. La forme générale d'un nombre complexe montre leur structure:

z

\u003d a
+ bi

Où z
étiquette le nombre complexe, a
représente n'importe quel nombre (appelé la partie "réelle") et b
représente un autre nombre (appelé "imaginaire" ”Partie), les deux pouvant être positifs ou négatifs. Un exemple de nombre complexe est donc:

z

\u003d 2 −4_i_

Puisque toutes les racines carrées de nombres négatifs peuvent être représentées par des multiples de < em> i
, c'est le formulaire pour tous les nombres complexes. Techniquement, un nombre régulier décrit simplement un cas spécial de nombre complexe où b
\u003d 0, donc tous les nombres peuvent être considérés comme complexes.
Règles de base pour l'algèbre avec des nombres complexes

ajouter et soustraire des nombres complexes, simplement ajouter ou soustraire les parties réelle et imaginaire séparément. Donc pour les nombres complexes z
\u003d 2 - 4_i_ et w
\u003d 3 + 5_i_, la somme est:

z

+ w
\u003d (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)

\u003d (2 + 3) + (−4 + 5) i

\u003d 5 + 1_i_ \u003d 5 + i

La soustraction des nombres fonctionne de la même manière:

z

- w
\u003d (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)

\u003d (2 - 3) + (−4 - 5) i

\u003d −1 - 9_i_

La multiplication est une autre opération simple avec des nombres complexes, car elle fonctionne comme une multiplication ordinaire, sauf que vous devez vous rappeler que i
^{2 \u003d −1. Donc pour calculer 3_i_ × −4_i_:}

3_i_ × −4_i_ \u003d −12_i_ ²

Mais puisque i
^{2 \u003d −1, alors:}

−12_i_ ^{2 \u003d −12 × −1 \u003d 12}

Avec des nombres complexes complets (en utilisant z
\u003d 2 - 4_i_ et w
\u003d 3 + 5_i_ encore), vous les multipliez de la même manière que vous le feriez avec des nombres ordinaires comme ( a
+ b
) ( c
+ d
), en utilisant la méthode "premier, intérieur, extérieur, dernier" (FOIL), pour donner ( a
+ b
) ( c
+ d
) \u003d ac
+ bc
+ ad
+ bd
. Tout ce que vous devez vous rappeler est de simplifier toutes les instances de i
^{2. Ainsi, par exemple:}

z

× w
\u003d (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)

\u003d ( 2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)

\u003d 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_ ²

\u003d 6 −2_i_ + 20 \u003d 26 + 2_i_
Division de nombres complexes

La division de nombres complexes implique la multiplication du numérateur et du dénominateur de la fraction par le conjugué complexe du dénominateur. Le conjugué complexe signifie simplement la version du nombre complexe avec la partie imaginaire inversée en signe. Donc pour z
\u003d 2 - 4_i_, le conjugué complexe z
\u003d 2 + 4_i_, et pour w
\u003d 3 + 5_i_, w

\u003d 3 −5_i_. Pour le problème:

z

/ w
\u003d (2 - 4_i_) /(3 + 5_i_)

Le le conjugué nécessaire est w
*. Divisez le numérateur et le dénominateur par ceci pour donner:

z

/ w
\u003d (2 - 4_i_) (3 −5_i_) /( 3 + 5_i _) (3 - 5_i_)

Et puis vous travaillez comme dans la section précédente. Le numérateur donne:

(2 - 4_i_) (3 −5_i_) \u003d 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_ ²

\u003d −14 - 22_i_

Et le dénominateur donne:

(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) \u003d 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_ ²

\u003d 9 + 25 \u003d 34

Cela signifie:

z

/ w
\u003d (−14 - 22_i_) /34

\u003d −14/34 - 22_i_ /34

\u003d −7/17 - 11_i_ /17
Simplification des nombres complexes

Utilisez les règles ci-dessus si nécessaire pour simplifier les expressions complexes. Par exemple:

z

\u003d ((4 + 2_i_) + (2 - i
)) ÷ ((2 + 2_i _) ( 2+ i
))

Cela peut être simplifié en utilisant la règle d'addition au numérateur, la règle de multiplication au dénominateur, puis en complétant la division. Pour le numérateur:

(4 + 2_i_) + (2 - i
) \u003d 6 + i

Pour le dénominateur:

(2 + 2_i _) (2+ i
) \u003d 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_ ²

\u003d (4 - 2) + 6_i_

\u003d 2 + 6_i_

La remise en place donne:

z

\u003d (6 + i
) /(2 + 6_i_)

La multiplication des deux parties par le conjugué du dénominateur conduit à:

z

\u003d (6 + i
) (2 - 6_i_) /(2 + 6_i_) (2 - 6_i_)

\u003d (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_ ^{2) /(4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_ < sup> 2)}

\u003d (18 - 34_i_) /40

\u003d (9 - 17_i_) /20

\u003d 9/20 −17_i_ /20

Cela signifie donc que z
simplifie comme suit:

z

\u003d ((4 + 2_i_) + (2 - i
)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ i
)) \u003d 9/20 −17_i_ /20