Les équations de mouvement de Lagrange sont un ensemble d'équations différentielles du second ordre qui décrivent le mouvement d'un système de particules. Ils dérivent du principe de moindre action, qui stipule que le chemin réel emprunté par un système entre deux points est celui qui minimise l’intégrale d’action.

L'intégrale d'action est définie comme l'intégrale du lagrangien dans le temps :

$$S =\int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot{q_i}, t) dt$$

où $q_i$ sont les coordonnées généralisées du système, $\dot{q_i}$ sont leurs dérivées temporelles et $L$ est le lagrangien. Le lagrangien est fonction des coordonnées généralisées, de leurs dérivées temporelles et du temps.

Le principe de moindre action stipule que le chemin réel emprunté par un système entre deux points est celui qui minimise l’intégrale d’action. Cela peut être exprimé mathématiquement comme suit :

$$\delta S =0$$

où $\delta S$ est la variation de l'intégrale d'action.

Les équations du mouvement de Lagrange peuvent être dérivées du principe de moindre action en utilisant le calcul des variations. Le calcul des variations est une branche des mathématiques qui consiste à trouver des fonctions qui minimisent ou maximisent une fonctionnelle.

Pour trouver les fonctions qui minimisent l’intégrale d’action, nous devons trouver les variations de l’intégrale d’action et les mettre égales à zéro. Les variations de l'intégrale d'action sont données par :

$$\delta S =\int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \delta \dot{q_i} + \frac{\partial L}{\partial t} \delta t\right) dt$$

où $\delta q_i$, $\delta \dot{q_i}$ et $\delta t$ sont les variations des coordonnées généralisées, leurs dérivées temporelles et le temps.

En mettant les variations de l'intégrale d'action égales à zéro, on obtient :

$$\frac{\partial L}{\partial q_i} =\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)$$

Ce sont les équations du mouvement de Lagrange. Il s'agit d'un ensemble d'équations différentielles du second ordre qui décrivent le mouvement d'un système de particules.

Exemple :

Considérons une particule de masse $m$ se déplaçant dans un potentiel unidimensionnel $V(x)$. Le lagrangien de ce système est :

$$L =\frac{1}{2} m \dot{x}^2 - V(x)$$

La coordonnée généralisée de ce système est $x$ et sa dérivée temporelle est $\dot{x}$. Le lagrangien est une fonction de $x$, $\dot{x}$ et $t$.

L'équation du mouvement de Lagrange pour ce système est :

$$\frac{\partial L}{\partial x} =\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)$$

En substituant le Lagrangien dans cette équation, on obtient :

$$- \frac{\partial V}{\partial x} =m \frac{d^2 x}{dt^2}$$

Il s'agit de la deuxième loi du mouvement de Newton pour une particule de masse $m$ se déplaçant dans un potentiel unidimensionnel $V(x)$.