La différence entre la mécanique classique et la mécanique quantique est énorme. Alors qu'en mécanique classique, les particules et les objets ont des positions clairement définies, en mécanique quantique (avant une mesure), une particule ne peut être considérée comme ayant une gamme de positions possibles, qui sont décrites en termes de probabilités par la fonction d'onde.

L'équation de Schrodinger définit la fonction d'onde des systèmes de mécanique quantique, et apprendre à l'utiliser et à l'interpréter est une partie importante de tout cours de mécanique quantique. L'un des exemples les plus simples d'une solution à cette équation est pour une particule dans une boîte.
La fonction d'onde

En mécanique quantique, une particule est représentée par une fonction d'onde. Ceci est généralement désigné par la lettre grecque psi ( Ψ
) et cela dépend à la fois de la position et du temps, et il contient tout ce qui peut être connu sur la particule.

Le module de cette fonction au carré vous indique la probabilité que la particule soit trouvée à la position x
au moment t
, à condition que la fonction soit "normalisée". Cela signifie simplement ajusté de sorte qu'il soit certain de le trouver à une certaine position x
au moment t
lorsque les résultats à chaque emplacement sont additionnés, c'est-à-dire que la condition de normalisation dit que:
\\ int _ {- \\ infty} ^ \\ infty \\ vertΨ \\ vert ^ 2 \u003d 1

Vous pouvez utiliser la fonction d'onde pour calculer la valeur d'attente pour la position d'une particule au temps t
, où la valeur d'attente signifie simplement la valeur moyenne que vous obtiendriez pour x
si vous répétiez la mesure un grand nombre de fois. Bien sûr, cela ne signifie pas que ce sera le résultat que vous obtiendrez pour une mesure donnée - c'est efficace
aléatoire, bien que certains emplacements soient généralement beaucoup plus probables que d'autres.

Il existe de nombreuses autres quantités pour lesquelles vous pouvez calculer des valeurs d’attente, telles que les valeurs de quantité de mouvement et d’énergie, ainsi que de nombreux autres «observables». trouver la valeur de la fonction d'onde et les états propres de l'énergie de la particule. L'équation peut être dérivée de la conservation de l'énergie et des expressions de l'énergie cinétique et potentielle d'une particule. La façon la plus simple de l'écrire est:
H (Ψ) \u003d iℏ \\ frac {\\ partialΨ} {\\ partial t}

Mais ici H
représente l'opérateur hamiltonien, qui en soi est un expression assez longue:
H \u003d \\ frac {−ℏ} {2m} \\ frac {\\ partial ^ 2} {\\ partial x ^ 2} + V (x)

Ici, m
est la masse, ℏ est la constante de Planck divisée par 2π, et V
( x
) est une fonction générale de l'énergie potentielle du système. Le hamiltonien a deux parties distinctes - le premier terme est l'énergie cinétique du système et le second terme est l'énergie potentielle.

Chaque valeur observable en mécanique quantique est associée à un opérateur, et dans le temps indépendant version de l'équation de Schrodinger, le hamiltonien est l'opérateur énergétique. Cependant, dans la version dépendante du temps montrée ci-dessus, l'hamiltonien génère également l'évolution temporelle de la fonction d'onde.

En combinant toutes les informations contenues dans l'équation, vous pouvez décrire l'évolution de la particule dans l'espace et le temps et prédire les valeurs d'énergie possibles pour lui aussi.
L'équation de Schrodinger indépendante du temps

La partie dépendante du temps de l'équation peut être supprimée - pour décrire une situation qui n'évolue pas notablement avec le temps - en séparant la fonction d'onde en parties d'espace et de temps: Ψ
( x
, t
) \u003d Ψ
( x
) f
( t
). Les parties dépendantes du temps peuvent ensuite être annulées hors de l'équation, ce qui laisse la version indépendante du temps de l'équation de Schrodinger:
H Ψ (x) \u003d E (Ψ (x))

E
est l'énergie du système. Ceci a la forme exacte d'une équation de valeur propre, avec Ψ
( x
) étant la fonction propre, et E
étant la valeur propre, c'est pourquoi le temps-indépendant l'équation est souvent appelée l'équation des valeurs propres pour l'énergie d'un système mécanique quantique. La fonction de temps est simplement donnée par:
f (t) \u003d e ^ {- iEt /ℏ}

L'équation indépendante du temps est utile car elle simplifie les calculs pour de nombreuses situations où l'évolution du temps n'est pas particulièrement cruciale . C'est la forme la plus utile pour les problèmes de «particules dans une boîte» et même pour déterminer les niveaux d'énergie pour les électrons autour d'un atome.
Particule dans une boîte (puits carré infini)

Une des solutions les plus simples à l'équation de Schrodinger indépendante du temps est pour une particule dans un puits carré infiniment profond (c'est-à-dire un puits de potentiel infini), ou une boîte unidimensionnelle de longueur de base L
. Bien sûr, ce sont des idéalisations théoriques, mais cela donne une idée de base de la façon dont vous résolvez l'équation de Schrodinger sans tenir compte de nombreuses complications qui existent dans la nature.

Avec l'énergie potentielle réglée à 0 à l'extérieur du puits où la densité de probabilité est également 0, l'équation de Schrodinger pour cette situation devient:
\\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \\ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} \u003d E Ψ (x)

Et la solution générale pour une équation de cette forme est:
Ψ (x) \u003d A \\ sin (kx) + B \\ cos (kx)

Cependant, regarder les conditions aux limites peut aider à affiner ceci . Pour x
\u003d 0 et x
\u003d L, c'est-à-dire les côtés de la boîte ou les parois du puits, la fonction d'onde doit aller à zéro. La fonction cosinus a une valeur de 1 lorsque l'argument est 0, donc pour que les conditions aux limites soient satisfaites, la constante B
doit être égale à zéro. Cela laisse:
Ψ (x) \u003d A \\ sin (kx)

Vous pouvez également utiliser les conditions aux limites pour définir une valeur pour k
. Puisque la fonction sin passe à zéro aux valeurs n_π, où le nombre quantique _n
\u003d 0, 1, 2, 3… et ainsi de suite, cela signifie que x
\u003d L
, l'équation ne fonctionnera que si k
\u003d n_π /_L
. Enfin, vous pouvez utiliser le fait que la fonction d'onde doit être normalisée pour trouver la valeur de A
(intégrer sur toutes les valeurs x
possibles, c'est-à-dire de 0 à L
, puis définissez le résultat égal à 1 et réorganisez), pour arriver à l'expression finale:
Ψ (x) \u003d \\ sqrt {\\ frac {2} {L}} \\ sin \\ bigg (\\ frac {nπ} {L} x \\ bigg)

En utilisant l'équation originale et ce résultat, vous pouvez alors résoudre pour E
, ce qui donne:
E \u003d \\ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8mL ^ 2}

Notez que le fait que n
soit dans cette expression signifie que les niveaux d'énergie sont quantifiés
, donc ils ne peuvent pas prendre aucun
valeur, mais seulement un ensemble discret de valeurs de niveau d'énergie spécifiques en fonction de la masse de la particule et de la longueur de la boîte.
Particule dans une boîte (puits carré fini)

Le même problème devient un peu plus compliqué si le puits potentiel a une hauteur de paroi finie. Par exemple, si le potentiel V
( x
) prend la valeur V
_{0 à l'extérieur du puits de potentiel et 0 à l'intérieur, la fonction d'onde peut être dans les trois principales régions couvertes par le problème. C'est un processus plus complexe, donc ici vous ne pourrez voir que les résultats plutôt que de parcourir tout le processus.}

Si le puits est à x
\u003d 0 to x
\u003d L
encore une fois, pour la région où x
<0 la solution est:
Ψ (x) \u003d Be ^ {kx}

Pour la région x
> L
, c'est:
Ψ (x) \u003d Ae ^ {- kx}

Où
k \u003d \\ sqrt {\\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}

Pour la région à l'intérieur du puits, où 0 < x
< L
, la solution générale est:
Ψ (x) \u003d C \\ sin (wx) + D \\ cos (wx)

Où
w \u003d \\ sqrt {\\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}

Vous pouvez ensuite utiliser les conditions aux limites pour déterminer les valeurs des constantes A
, B
, C
et D
, en notant cela et en ayant des valeurs définies aux parois du puits, la fonction d'onde et sa dérivée première doivent être continues partout, et la fonction d'onde doit être finie partout.

Dans d'autres cas, comme les boîtes peu profondes, les boîtes étroites et bien d'autres situations spécifiques, vous pouvez trouver des approximations et différentes solutions.