(a) Intensité électrique E à l'extérieur du ballon (r> R)

Grâce à la loi de Gauss, nous pouvons déterminer l'intensité électrique E à une distance r du centre du ballon. On considère une surface gaussienne sphérique de rayon r, concentrique au ballon. Le champ électrique est partout perpendiculaire à la surface et son ampleur est constante sur la surface. Le flux électrique à travers la surface est donc donné par :

∮_S \(\overrightarrow E\cdot d\overrightarrow A\)=E⋅4πr^2

La charge totale enfermée par la surface est q. Ainsi, d’après la loi de Gauss, on a :

∮_S \(\overrightarrow E\cdot d\overrightarrow A\)=\frac{q_{in}}{\varepsilon_0}

où ε₀ est la permittivité de l'espace libre. En combinant les équations ci-dessus, nous obtenons :

$$E⋅4πr^2=\frac{q}{\varepsilon_0}$$

$$E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}$$

C'est l'expression de l'intensité électrique à l'extérieur du ballon. Elle varie inversement au carré de la distance au centre du ballon.

(b) Intensité électrique E à l'intérieur du ballon (r

A l’intérieur du ballon, le champ électrique est nul. En effet, le champ électrique est dû aux charges à la surface du ballon et il n’y a aucune charge à l’intérieur du ballon.

(c) Potentiel électrique V à l'extérieur du ballon (r> R)

Le potentiel électrique V à une distance r du centre du ballon est donné par :

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{r}$$

Puisque la charge est uniformément répartie sur la surface du ballon, on peut écrire dq =σ⋅dA, où σ est la densité de charge de surface et dA est un élément de surface à la surface. La charge totale sur le ballon est q =σ⋅4πR², où R est le rayon du ballon. En les substituant dans l'équation de V, nous obtenons :

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_S \frac{\sigma dA}{r}$$

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma}{r}⋅\int_S dA$$

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma}{r}⋅4πR²$$

$$V=\frac{\sigma R}{\varepsilon_0}\frac{1}{r}$$

C'est l'expression du potentiel électrique à l'extérieur du ballon. Elle varie inversement avec la distance au centre du ballon.

(d) Potentiel électrique V à l'intérieur du ballon (r

A l’intérieur du ballon, le potentiel électrique est constant et est donné par :

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^R \frac{\sigma dA}{r}$$

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma}{r}⋅4πr²$$

$$V=\frac{\sigma R}{\varepsilon_0}$$

C'est l'expression du potentiel électrique à l'intérieur du ballon. Elle est constante et ne dépend pas de la distance au centre du ballon.