Dans une nouvelle étude, des scientifiques ont étudié l'hypothèse omniprésente de bas rang dans les systèmes complexes, démontrant qu'en dépit d'une dynamique non linéaire de grande dimension, de nombreux réseaux réels présentent des valeurs singulières décroissantes rapidement, ce qui conforte la faisabilité d'une réduction efficace des dimensions pour comprendre et modéliser les comportements de systèmes complexes. .
Les résultats de l'étude sont publiés dans Nature Physics .
Les systèmes complexes font référence à des structures ou à des processus complexes et interconnectés caractérisés par de nombreux composants avec des interactions non linéaires, ce qui rend leur comportement difficile à prédire à partir des propriétés de pièces individuelles.
Les exemples incluent les écosystèmes, les réseaux neuronaux et les structures sociales, où les interactions collectives conduisent à des phénomènes émergents et à une auto-organisation. Comprendre les systèmes complexes implique d'étudier des modèles, des boucles de rétroaction et des comportements dynamiques à différentes échelles, contribuant ainsi à la physique, à la biologie, à la sociologie et à la science des réseaux.
Les systèmes complexes posent souvent des défis dans la compréhension de leur comportement à grande échelle en raison de la dynamique non linéaire de grande dimension impliquée. Désormais, des scientifiques dirigés par Vincent Thibeault, titulaire d'un doctorat. étudiant à l'Université Laval à Québec, Canada, visent à relever ce défi en explorant la simplicité intrinsèque des systèmes complexes et en trouvant une dimension optimale pour simplifier les modèles.
"En lisant un large éventail d'articles sur le sujet, de la science des réseaux aux neurosciences, Patrick et moi sommes arrivés à un point où il était évident qu'il existait une hypothèse de bas rang formulée sur la matrice utilisée pour décrire les réseaux réels et les interactions dans de nombreux systèmes dynamiques non linéaires de grande dimension."
"Avec Antoine dans notre équipe, qui a consacré plusieurs années à faire progresser la science des réseaux, nous étions confiants pour approfondir cette recherche", a déclaré Thibeault à Phys.org.
Le cerveau est un système complexe avec plusieurs éléments en interaction, qui sont dans ce cas les neurones. Les neurones communiquent entre eux via des signaux électriques appelés potentiels d'action.
Lorsque des groupes de neurones synchronisent leur déclenchement, cela peut améliorer l’efficacité du traitement et de la transmission de l’information. Cette activité synchronisée est un phénomène émergent dû aux phénomènes collectifs des pièces et peut altérer leurs fonctions, conduisant à des conditions comme l'épilepsie.
"Malgré cette dimensionnalité élevée, le réseau complexe d'interactions présente de faibles dimensions effectives. Cela implique que seules quelques variables (ou observables) bien choisies peuvent suffire à décrire les propriétés macroscopiques émergentes de systèmes complexes."
"Or, il faut être très prudent lorsqu'on choisit la dimension pour décrire ces systèmes, car on peut perdre les propriétés saillantes du système et même créer de nouveaux types d'interactions", a expliqué Thibeault.
Les chercheurs ont cherché à valider cette hypothèse de faible rang, dans le but de trouver une dimension optimale pour la réduction de la dimensionnalité. Ils voulaient comprendre si la dynamique des systèmes complexes de haute dimension dépend du comportement des matrices de bas rang et si cette hypothèse est valable pour un large éventail de réseaux.
Les chercheurs ont utilisé un outil mathématique puissant pour tester leur hypothèse de bas rang, la décomposition en valeurs singulières (SVD). SVD est une technique d'algèbre linéaire qui disséque une matrice en trois composants essentiels.
Les vecteurs singuliers gauches (U) décrivent les relations entre les composants du système. Les valeurs singulières (Σ) indiquent l'importance de chaque composant, et les vecteurs singuliers droits (V) capturent la manière dont chaque composant influence le système global.
En appliquant SVD aux matrices de poids des réseaux, les chercheurs se sont concentrés sur la compréhension du comportement des valeurs singulières. Ils ont observé une diminution rapide de ces valeurs singulières lors de l'analyse de réseaux réels, fournissant ainsi des preuves empiriques en faveur de l'hypothèse de faible rang.
Cette analyse leur a permis de valider l'hypothèse de bas rang, confirmant que la dynamique des systèmes complexes de haute dimension peut être efficacement réduite à une dimension inférieure, fournissant ainsi un aperçu de la dimensionnalité optimale pour simplifier les modèles et comprendre les propriétés macroscopiques émergentes.
En plus de valider l'hypothèse du faible rang grâce à la diminution rapide des valeurs singulières, les chercheurs ont également constaté que cette analyse leur permettait de quantifier le rang effectif des réseaux.
Les mesures de classement efficaces, telles qu'un classement stable, ont fourni des indicateurs quantitatifs soutenant l'hypothèse d'un classement faible. Cela a encore renforcé la compréhension du fait que malgré la nature complexe et de grande dimension des systèmes complexes, leurs comportements peuvent effectivement être capturés avec précision avec un nombre de dimensions nettement inférieur, offrant une représentation plus gérable et plus perspicace à des fins d'enquête scientifique et de modélisation.
"L'origine des interactions d'ordre supérieur n'était même pas un sujet auquel nous avions pensé au départ dans notre processus de recherche. En fait, après avoir vérifié l'hypothèse de bas rang, nous nous préoccupions uniquement de trouver une méthode optimale de réduction de dimension", a noté Thibeault. .
Les chercheurs sont allés plus loin et se sont aventurés dans la complexité réelle des réseaux.
Un examen expérimental minutieux, y compris des investigations sur le connectome de Drosophila melanogaster, a fourni des preuves empiriques en confirmant la dégradation rapide des valeurs singulières.
Un connectome est la carte complète des connexions neuronales chez D. melanogaster, une espèce de mouche des fruits. Cette vérification tangible transcende les cadres théoriques, affirmant l'applicabilité de l'hypothèse de bas rang dans les systèmes complexes.
Thibeault a souligné l'importance de ces connaissances empiriques en déclarant :« Ces capacités sont vitales dans des domaines comme l'écologie, l'épidémiologie et les neurosciences, où faire des prédictions éclairées et exercer un certain niveau de contrôle sont des objectifs clés, même sous de fortes hypothèses simplificatrices. »
"Identifier les limites de nos modèles mathématiques (comme les graphiques aléatoires et les systèmes dynamiques) pour décrire les phénomènes naturels est donc une tâche fondamentale pour le modélisateur, et établir l'ubiquité de l'hypothèse de bas rang fait partie de cet effort pour les systèmes complexes."
Pour l’avenir, les chercheurs envisagent une exploration des origines de la diminution rapide de la valeur singulière dans les réseaux réels, anticipant ainsi des informations précieuses sur la résilience des systèmes adaptatifs complexes.
Thibeault a expliqué :« Les systèmes complexes sont des systèmes intrinsèquement adaptatifs, dont le réseau d'interactions et la dynamique du système évoluent en fonction de son environnement et de son comportement inhérent. »
"Les modèles qui décrivent une telle adaptation sont beaucoup plus complexes, ce qui fait de la réduction dimensionnelle un outil essentiel pour mieux comprendre les fonctions et la résilience du système. Nous prévoyons d'étudier et de discuter en profondeur les implications de nos observations sur les systèmes adaptatifs complexes à l'avenir.
Jianxi Gao a publié un article News &Views dans le même numéro de revue sur le travail de l'équipe de Thibeault.
Plus d'informations : Vincent Thibeault et al, L'hypothèse de bas rang des systèmes complexes, Nature Physics (2024). DOI :10.1038/s41567-023-02303-0
Jianxi Gao, Simplicité intrinsèque des systèmes complexes, Physique de la nature (2024). DOI :10.1038/s41567-023-02268-0
Informations sur le journal : Physique de la nature
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