Les mathématiques d'objets autrement simples peuvent être étonnamment déroutantes. Il n'y a probablement pas de meilleur exemple de cela que la bande de Möbius.
C'est un objet unilatéral qui peut être fabriqué en tordant simplement un morceau de papier et en reliant les extrémités avec du ruban adhésif. Si vous deviez suivre la boucle avec votre doigt, vous finiriez par revenir à votre point de départ, après avoir touché toute la surface de la boucle tout au long du parcours. Cette création simple, la bande de Möbius, est fondamentale pour l'ensemble du domaine de la topologie et sert d'exemple par excellence de divers principes mathématiques.
L'un de ces principes est la non-orientabilité , qui est l'incapacité pour les mathématiciens d'attribuer des coordonnées à un objet, disons vers le haut ou vers le bas, ou d'un côté à l'autre. Ce principe a des résultats intéressants, car les scientifiques ne sont pas tout à fait sûrs que l'univers soit orientable.
Cela pose un scénario déroutant :si une fusée avec des astronautes a volé dans l'espace assez longtemps puis est revenue, en supposant que l'univers n'était pas orientable, il est possible que tous les astronautes à bord reviennent en sens inverse.
En d'autres termes, les astronautes reviendraient comme des images miroir d'eux-mêmes, complètement inversés. Leur cœur serait à droite plutôt qu'à gauche et ils pourraient être gauchers plutôt que droitiers. Si l'un des astronautes avait perdu sa jambe droite avant le vol, au retour, il lui manquerait sa jambe gauche. C'est ce qui se passe lorsque vous traversez une surface non orientable comme une bande de Möbius.
Même si, espérons-le, votre esprit est époustouflé – du moins légèrement – nous devons prendre du recul. Qu'est-ce qu'une bande de Möbius et comment un objet avec des mathématiques aussi complexes peut-il être créé en tordant simplement un morceau de papier ?
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La bande de Möbius (parfois écrite comme "bande de Mobius") a été découverte pour la première fois en 1858 par un mathématicien allemand nommé August Möbius alors qu'il recherchait des théories géométriques. Alors que Möbius est largement crédité de la découverte (d'où le nom de la bande), il a été découvert presque simultanément par un mathématicien nommé Johann Listing. Cependant, il hésita à publier son travail et fut battu à outrance par August Möbius.
La bande elle-même est définie simplement comme une surface unilatérale non orientable qui est créée en ajoutant une demi-torsion à une bande. Les bandes de Möbius peuvent être n'importe quelle bande qui a un nombre impair de demi-torsions, ce qui fait que la bande n'a qu'un seul côté, et par conséquent, un seul bord.
Depuis sa découverte, la bande unilatérale fascine les artistes et les mathématiciens. La bande a même entiché M.C. Escher, menant à ses œuvres célèbres, "Möbius Strip I&II".
La découverte de la bande de Möbius a également été fondamentale pour la formation du domaine de la topologie mathématique, l'étude des propriétés géométriques qui restent inchangées lorsqu'un objet est déformé ou étiré. La topologie est vitale pour certains domaines des mathématiques et de la physique, comme les équations différentielles et la théorie des cordes.
Par exemple, selon les principes topographiques, une tasse est en fait un beignet. Le mathématicien et artiste Henry Segerman l'explique le mieux dans une vidéo YouTube :"Si vous prenez une tasse à café, vous pouvez en quelque sorte supprimer l'endroit où le café va et vous pouvez écraser un peu la poignée et éventuellement la déformer. en [une] forme de beignet rond symétrique." (Cela explique la blague selon laquelle un topologue est quelqu'un qui ne peut pas voir la différence entre un beignet et une tasse à café.)
La bande de Möbius est plus qu'une simple théorie mathématique :elle a des applications pratiques intéressantes, que ce soit comme aide pédagogique pour des objets plus complexes ou dans des machines.
Par exemple, étant donné que la bande de Möbius est physiquement unilatérale, l'utilisation de bandes de Möbius dans des bandes transporteuses et d'autres applications garantit que la bande elle-même ne subit pas d'usure inégale tout au long de sa durée de vie. Le professeur agrégé NJ Wildberger de l'École de mathématiques de l'Université de Nouvelle-Galles du Sud, en Australie, a expliqué lors d'une série de conférences qu'une torsion est souvent ajoutée aux courroies d'entraînement des machines, "à dessein pour user la courroie uniformément des deux côtés". La bande de Möbius peut également être vue dans l'architecture, par exemple, le pont Wuchazi en Chine.
Le Dr Edward English Jr., professeur de mathématiques au collège et ancien ingénieur optique, dit que, comme lorsqu'il a entendu parler pour la première fois de la bande de Möbius à l'école primaire, son professeur lui a demandé d'en créer une avec du papier, coupant la bande de Möbius sur sa longueur, ce qui a créé un bande plus longue avec deux torsions complètes.
"Être intrigué et exposé à ce concept de deux 'états' m'a aidé, je pense, lorsque j'ai rencontré le spin haut/bas des électrons", dit-il, se référant à son doctorat. études. "Diverses idées de mécanique quantique n'étaient pas des concepts si étranges pour moi d'accepter et de comprendre parce que la bande de Möbius m'a présenté de telles possibilités." Pour beaucoup, la bande de Möbius est la première introduction à la géométrie complexe et aux mathématiques.
Créer une bande de Möbius est incroyablement facile. Prenez simplement un morceau de papier et coupez-le en une fine bande, disons un pouce ou 2 de large (2,5 à 5 centimètres). Une fois que vous avez coupé cette bande, tournez simplement l'une des extrémités à 180 degrés, ou une demi-torsion. Ensuite, prenez du ruban adhésif et connectez cette extrémité à l'autre extrémité, créant ainsi un anneau avec une demi-torsion à l'intérieur. Vous vous retrouvez maintenant avec une bande de Möbius !
Vous pouvez mieux observer les principes de cette forme en prenant votre doigt et en suivant les côtés de la bande. Vous finirez par faire tout le tour de la forme et retrouverez votre doigt là où il a commencé.
Si vous coupez une bande de Möbius au centre, sur toute sa longueur, il vous reste une boucle plus grande avec quatre demi-torsions. Cela vous laisse avec une forme circulaire tordue, mais qui a toujours deux côtés. C'est cette dualité mentionnée par le Dr English qui l'a aidé à comprendre des principes plus complexes.
Maintenant c'est coolSi vous coupez un bagel le long du chemin d'une bande de Möbius, vous vous retrouverez avec deux anneaux de bagel connectés. Non seulement cela, mais la surface de la coupe sera plus grande que la simple coupe du bagel en deux, ce qui vous permettra d'étaler plus de fromage à la crème sur le bagel à manger.
