Si vous deviez prendre une case et dessiner deux lignes de diagonales, elles se croisaient au centre et formaient quatre triangles rectangles. Les deux diagonales se croisent à 90 degrés. Vous pourriez intuitivement deviner que deux diagonales d'un cube, chacune allant d'un coin du cube à son coin opposé et se croisant au centre, se croisent également à angle droit. Vous seriez trompé. Déterminer l'angle de croisement entre deux diagonales d'un cube est légèrement plus compliqué qu'il n'y paraît à première vue, mais il est très pratique pour comprendre les principes de la géométrie et de la trigonométrie.

Définir la longueur de un bord comme une unité. Par définition, chaque arête du cube a une longueur identique d'une unité.

Utilise le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur d'une diagonale allant d'un angle au coin opposé d'une même face. Appelez cela une «courte diagonale» pour des raisons de clarté. Chaque côté du triangle rectangle formé est une unité, donc la diagonale doit être égale à √2.

Utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur d'une diagonale allant d'un coin à l'angle opposé de la face opposée . Appelez cela une "longue diagonale". Vous avez un triangle rectangle avec un côté égal à 1 unité et un côté égal à une "courte diagonale", √2 unités. Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés, donc l'hypoténuse doit être √3. Chaque diagonale allant d'un coin du cube au coin opposé a une longueur de √3 unités.

Dessine un rectangle pour représenter deux longues diagonales qui se croisent au centre du cube. Vous voulez trouver l'angle de leur intersection. Ce rectangle aura 1 unité de hauteur et √2 unités de largeur. Les longues diagonales se coupent en deux au centre de ce rectangle et forment deux types de triangle différents. L'un de ces triangles a un côté égal à une unité et les deux autres côtés égaux à √3 /2 (la moitié de la longueur d'une longue diagonale). L'autre a également deux côtés égaux à √3 /2 mais son autre côté est égal à √2. Vous avez seulement besoin d'analyser l'un des triangles, alors prenez le premier et résolvez l'angle inconnu.

Utilisez la formule trigonométrique c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos C pour résoudre l'angle inconnu de ce triangle. C = 1, et a et b sont égaux à √3 /2. En insérant ces valeurs dans l'équation, vous déterminerez que le cosinus de votre angle inconnu est 1/3. Prenant le cosinus inverse de 1/3 donne un angle de 70,5 degrés.