L’un des résultats les plus connus dans ce domaine est la conjecture de Kepler. Cette conjecture stipule que, de tous les polyèdres réguliers, l'empilement le plus dense est obtenu par le réseau cubique à faces centrées. Dans ce réseau, chaque polyèdre est entouré de 12 autres polyèdres.
La conjecture de Kepler a été proposée pour la première fois en 1611, mais elle n'a été prouvée qu'en 1998. La preuve, publiée dans Annals of Mathematics, comptait plus de 300 pages et reposait sur diverses techniques mathématiques.
La conjecture de Kepler a été étendue à d'autres types de polyèdres, tels que les polyèdres convexes et les polyèdres de volume égal. Cependant, un certain nombre de problèmes restent en suspens dans ce domaine. Par exemple, on ne sait pas quel est l’empilement le plus dense pour tous les polyèdres convexes.
Emballer des polyèdres dans une boîte est un problème difficile, mais c’est aussi un problème magnifique et fascinant. C’est un problème qui a retenu l’attention des scientifiques et des mathématiciens pendant des siècles, et il continuera probablement à être étudié pendant de nombreuses années.
Voici quelques détails supplémentaires sur l’emballage des polyèdres dans une boîte :
- La densité d'un garnissage est définie comme le rapport du volume des polyèdres au volume de la boîte.
- L'empilement de sphères le plus dense est obtenu par le réseau cubique à faces centrées. Dans ce réseau, chaque sphère est entourée de 12 autres sphères.
- L'empilement de cubes le plus dense est obtenu par le réseau cubique centré sur le corps. Dans ce treillis, chaque cube est entouré de 8 autres cubes.
- L'empilement le plus dense de tétraèdres est obtenu par le simple réseau cubique. Dans ce réseau, chaque tétraèdre est entouré de 4 autres tétraèdres.
- La conjecture de Kepler stipule que, de tous les polyèdres réguliers, l'empilement le plus dense est obtenu par le réseau cubique à faces centrées. Dans ce réseau, chaque polyèdre est entouré de 12 autres polyèdres.
- La conjecture de Kepler a été étendue à d'autres types de polyèdres, tels que les polyèdres convexes et les polyèdres d'égal volume. Cependant, un certain nombre de problèmes restent en suspens dans ce domaine. Par exemple, on ne sait pas quel est l’empilement le plus dense pour tous les polyèdres convexes.
