Supposons que vous ayez n types d'éléments et que vous souhaitiez en sélectionner une collection. Nous pourrions vouloir ces articles dans un ordre particulier. Nous appelons ces permutations des ensembles d'éléments. Si la commande n'a pas d'importance, nous appelons l'ensemble des combinaisons de collections. Pour les combinaisons et les permutations, vous pouvez considérer le cas dans lequel vous choisissez certains des n types plus d'une fois, appelé «avec répétition», ou le cas où vous choisissez chaque type une seule fois, ce qui est appelé «pas de répétition». '. Le but est de pouvoir compter le nombre de combinaisons ou de permutations possibles dans une situation donnée.

Commandes et factorielles

La fonction factorielle est souvent utilisée pour calculer des combinaisons et des permutations. N! signifie N × (N-1) × ... × 2 × 1. Par exemple, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Le nombre de façons de commander un ensemble d'articles est un factoriel. Prenez les trois lettres a, b et c. Vous avez trois choix pour la première lettre, deux pour la deuxième et un seul pour la troisième. En d'autres termes, un total de 3 × 2 × 1 = 6 ordres. En général, il y a n! façons de commander n articles.

Permutations avec Répétition

Supposons que vous ayez trois pièces que vous allez peindre, et chacune d'elles sera peinte en cinq couleurs: rouge (r), vert ( g), bleu (b), jaune (y) ou orange (o). Vous pouvez choisir chaque couleur autant de fois que vous le souhaitez. Vous avez le choix entre cinq couleurs pour la première pièce, cinq pour la seconde et cinq pour la troisième. Cela donne un total de 5 × 5 × 5 = 125 possibilités. En général, le nombre de façons de choisir un groupe de r éléments dans un ordre particulier parmi n choix reproductibles est n ^ r.

Permutations sans répétition

Supposons maintenant que chaque pièce va être une couleur différente. Vous pouvez choisir parmi cinq couleurs pour la première pièce, quatre pour la deuxième et seulement trois pour la troisième. Cela donne 5 × 4 × 3 = 60, ce qui arrive juste à 5! /2 !. En général, le nombre de façons indépendantes de sélectionner r éléments dans un ordre particulier à partir de n choix non répétables est n! /(N-r)!.

Combinaisons sans répétition

Ensuite, oubliez quelle pièce est de quelle couleur. Choisissez simplement trois couleurs indépendantes pour le jeu de couleurs. L'ordre n'a pas d'importance ici, donc (rouge, vert, bleu) est le même que (rouge, bleu, vert). Pour tout choix de trois couleurs, il y en a 3! façons dont vous pouvez les commander. Donc vous réduisez le nombre de permutations par 3! pour obtenir 5! /(2! × 3!) = 10. En général, vous pouvez choisir un groupe de r éléments dans n'importe quel ordre à partir d'une sélection de n choix non répétables dans n! /[(n-r)! × r! ] façons.

Combinaisons avec Répétition

Enfin, vous devez créer un jeu de couleurs dans lequel vous pouvez utiliser n'importe quelle couleur autant de fois que vous le souhaitez. Un code de comptabilité intelligent aide cette tâche de comptage. Utilisez trois X pour représenter les pièces. Votre liste de couleurs est représentée par 'rgbyo'. Mélangez les X dans votre liste de couleurs, et associez chaque X avec la première couleur à gauche de celui-ci. Par exemple, rgXXbyXo signifie que la première pièce est verte, la deuxième est verte et la troisième est jaune. Un X doit avoir au moins une couleur à gauche, donc il y a cinq emplacements disponibles pour le premier X. Parce que la liste contient maintenant un X, il y a six emplacements disponibles pour le deuxième X et sept emplacements disponibles pour le troisième X. tout, il y a 5 × 6 × 7 = 7! /4! façons d'écrire le code. Cependant, l'ordre des pièces est arbitraire, donc il n'y a vraiment que 7! /(4! × 3!) Arrangements uniques. En général, vous pouvez choisir des éléments dans n'importe quel ordre parmi n choix reproductibles dans (n ​​+ r-1)! /[(N-1)! × r!] Façons.