Comprendre les concepts
* Motion harmonique simple (SHM): Un type de mouvement périodique où la force de restauration est proportionnelle au déplacement de l'équilibre. Les exemples incluent une masse au printemps ou un pendule.
* énergie cinétique (KE): L'énergie du mouvement, calculée comme ke =(1/2) mv², où m est masse et v est la vitesse.
* Énergie potentielle (PE): Énergie stockée en raison de la position ou de la configuration d'un objet. Dans SHM, l'énergie potentielle est généralement associée à la force de restauration (par exemple, l'énergie potentielle du ressort).
Dérivation
1. Énergie totale: L'énergie mécanique totale (E) dans SHM est constante et est la somme de l'énergie cinétique et potentielle:
E =ke + pe
2. Egal Energies: Lorsque KE =PE, nous pouvons réécrire l'équation d'énergie totale comme:
E =2ke =2pe
3. Exprimant KE et PE en termes de déplacement:
* Ke =(1/2) mv²
* PE =(1/2) Kx², où K est la constante de ressort (ou une constante de force de restauration similaire) et x est le déplacement de l'équilibre.
4. Énergies d'assimilation:
2 [(1/2) mv²] =2 [(1/2) kx²]
mv² =kx²
5. Velocity in shm: La vitesse (v) d'un objet en SHM peut être exprimée comme suit:
v =ω√ (a² - x²) où ω est la fréquence angulaire et a est l'amplitude de l'oscillation.
6. Remplacement et résolution: Remplacez l'expression de la vitesse dans l'équation énergétique:
m [ω√ (a² - x²)] ² =kx²
MΩ² (a² - x²) =kx²
7. Simplifier: Réorganisez l'équation à résoudre pour x:
Mω²a² =(MΩ² + K) X²
x² =(Mω²a²) / (MΩ² + K)
8. en utilisant la relation entre ω et k: N'oubliez pas que ω² =k / m. Substituant cela dans l'équation:
x² =(Mω²a²) / (MΩ² + MΩ²)
x² =(MΩ²a²) / (2mΩ²)
x² =a² / 2
9. Déplacement: Prendre la racine carrée des deux côtés:
x =a / √2
Conclusion
Lorsque les énergies cinétiques et potentielles d'un objet en mouvement harmonique simple sont égales, le déplacement (x) est égal à l'amplitude (a) divisé par la racine carrée de 2. Cela signifie que l'objet est à une position d'environ 70,7% de la voie de sa position d'équilibre à sa amplitude maximale.
