Comment simplifier les expressions rationnelles: étape par étape

Avant de commencer à simplifier ou à manipuler des expressions rationnelles, prenez un moment pour revoir ce qu'est l'expression rationnelle elle-même: une fraction avec un polynôme à la fois au numérateur et au dénominateur. Ou, pour le dire autrement, un rapport d'un polynôme à un autre. Une fois que vous avez identifié une expression rationnelle, le processus de simplification se résume à trois étapes.
Les étapes de la simplification des expressions rationnelles

Le processus de simplification des fonctions rationnelles suit une feuille de route assez simple. La première chose que vous devez faire est de combiner des termes similaires, si vous ne l'avez pas déjà fait, pour vous aider à voir clairement les polynômes.

Ensuite, factorisez chaque polynôme. Parfois, tout ce que vous avez à faire est d'écrire chaque terme. Par exemple, il est clair que 4x (qui est en fait un polynôme, même s'il n'a qu'un seul terme) a deux facteurs: 4 et x. Mais avec des polynômes plus compliqués, votre meilleur outil est souvent de reconnaître des modèles pour des types spécifiques de polynômes que vous avez déjà connus. Par exemple, si vous avez prêté une attention particulière à vos formules, vous vous souvenez peut-être qu'un polynôme de la forme a ^{2 - b ^{2 se décompose en (a + b) (a - b).}}

Une fois vos polynômes entièrement pris en compte, la dernière étape consiste à annuler tous les facteurs communs qui apparaissent à la fois au numérateur et au dénominateur. Le résultat est votre polynôme simplifié.

Conseils

Et si les polynômes de votre expression rationnelle ne sont pas d'une forme que vous savez facilement factoriser ? Il existe d'autres techniques que vous pouvez utiliser pour les factoriser, comme remplir le carré ou utiliser la formule quadratique.

Un avertissement concernant le dénominateur

Vous ne serez peut-être pas surpris d'entendre cela il y a un petit hic ici. Habituellement, le domaine (ou l'ensemble de valeurs x possibles) de votre expression rationnelle est supposé être l'ensemble de tous les nombres réels. Mais si quelque chose arrive à rendre le dénominateur de votre fraction nulle, le résultat est une fraction non définie.

Qu'est-ce qui rendrait votre dénominateur nul? Habituellement, un petit examen suffit pour le découvrir. Par exemple, si le dénominateur de votre fraction a été réduit aux facteurs (x + 2) (x - 2), alors la valeur x \u003d -2 rendrait le premier facteur égal à zéro, et x \u003d 2 ferait le deuxième facteur égal à zéro.

Ces deux valeurs, -2 et 2, doivent donc être exclues du domaine de votre expression rationnelle. Vous noterez généralement cela avec le signe «différent» ou ≠. Par exemple, si vous devez exclure -2 et 2 du domaine, vous écrirez x ≠ -2, 2.
Simplification des expressions rationnelles: exemples

Maintenant que vous comprenez le processus de simplification rationnelle expressions, il est temps de regarder quelques exemples.

Exemple 1: Simplifiez l'expression rationnelle (x ^{2 - 4) /(x ^{2+ 4x + 4)}}

Il n'y a pas de termes similaires à combiner ici, vous pouvez donc ignorer cette première étape. Ensuite, avec vos yeux vifs et un peu de pratique, vous pouvez voir que le numérateur et le dénominateur sont tous deux facilement factorisés:

(x + 2) (x - 2) /(x + 2) (x + 2 )

Vous remarquerez peut-être aussi que (x + 2) est un facteur à la fois au numérateur et au dénominateur. Une fois que vous avez annulé le facteur partagé, vous vous retrouvez avec:

(x - 2) /(x + 2)

Vous avez simplifié votre expression rationnelle autant que vous le pouvez, mais il y a encore une chose à faire: identifier les "zéros" ou les racines qui entraîneraient une fraction indéfinie, afin que vous puissiez les exclure du domaine. Dans ce cas, il est facile de voir en examinant que lorsque x \u003d -2, le facteur en bas sera égal à zéro. Donc, votre expression rationnelle simplifiée est en fait:

(x - 2) /(x + 2), x ≠ -2

Exemple 2: Simplifiez l'expression rationnelle x /(x ^{2 - 4x)}

Il n'y a pas de termes similaires à combiner, vous pouvez donc passer directement à l'affacturage par examen. Il n'est pas trop difficile de repérer que vous pouvez factoriser un x sur le terme inférieur, ce qui vous donne:

x /x (x - 4)

Vous pouvez annuler le facteur x des deux numérateur et dénominateur, ce qui vous laisse avec:

1 /(x - 4)

Maintenant, votre expression rationnelle est simplifiée, mais vous devez également noter toutes les valeurs de x qui entraîneraient un indéfini fraction. Dans ce cas, x \u003d 4 retournerait une valeur nulle au dénominateur. Votre réponse est donc: