Chaque élève d'algèbre de niveau supérieur doit apprendre à résoudre des équations quadratiques. Il s'agit d'un type d'équation polynomiale qui inclut une puissance de 2 mais aucune supérieure, et elles ont la forme générale: hache
<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0. Vous pouvez les résoudre en utilisant la formule d'équation quadratique, en factorisant ou en complétant le carré.</sup>

TL; DR (trop long; n'a pas lu)

Cherchez d'abord une factorisation pour résoudre l'équation. S'il n'y en a pas mais que le coefficient b
est divisible par 2, complétez le carré. Si aucune approche n'est facile, utilisez la formule d'équation quadratique.
Utilisation de la factorisation pour résoudre l'équation

La factorisation exploite le fait que le côté droit de l'équation quadratique standard est égal à zéro. Cela signifie que si vous pouvez diviser l'équation en deux termes entre crochets multipliés l'un par l'autre, vous pouvez trouver les solutions en réfléchissant à ce qui rendrait chaque parenthèse égale à zéro. Pour donner un exemple concret:

x

^{2 + 6_x_ + 9 \u003d 0}

Comparez ceci au formulaire standard:

hache

<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0</sup>

Dans l'exemple, < em> a
\u003d 1, b
\u003d 6 et c
\u003d 9. Le défi de la factorisation est de trouver deux nombres qui s'additionnent pour donner le nombre dans le b
repérez et multipliez ensemble pour obtenir le nombre à la place de c
.

Donc, représentant les nombres par d
et e
, vous recherchez des nombres qui satisfont:

d
+ e
\u003d b

Ou dans ce cas, avec b
\u003d 6:

d
+ e
\u003d 6

Et

d
× e
\u003d c

Ou dans ce cas, avec c
\u003d 9:

d
× e
\u003d 9

Concentrez-vous sur la recherche de nombres qui sont des facteurs de c
, puis additionnez-les pour voir s'ils sont égaux b
. Lorsque vous avez vos numéros, mettez-les au format suivant:

( x
+ d
) ( x
+ e
)

Dans l'exemple ci-dessus, d
et e
sont 3:

x

<sup>2 + 6_x_ + 9 \u003d ( x
+ 3) ( x
+ 3) \u003d 0</sup>

Si vous multipliez les parenthèses, vous ' Nous retrouverons l'expression d'origine, et c'est une bonne pratique pour vérifier votre factorisation. Vous pouvez exécuter ce processus (en multipliant la première partie, l'intérieur, l'extérieur puis les dernières parties des crochets à leur tour - voir Ressources pour plus de détails) pour le voir à l'envers:

( x
+ 3) ( x
+ 3) \u003d ( x
× x
) + (3 × x
) + ( x
× 3) + (3 × 3)

\u003d x
^{2 + 3_x_ + 3_x_ + 9}

\u003d x

^{2 + 6_x_ + 9}

La factorisation passe par ce processus en sens inverse, mais il peut être difficile de trouver la bonne façon de factoriser l'équation quadratique, et cela la méthode n'est pas idéale pour chaque équation quadratique pour cette raison. Souvent, vous devez deviner une factorisation, puis la vérifier.

Le problème est maintenant de faire en sorte que l'une des expressions entre crochets soit égale à zéro grâce à votre choix de valeur pour x
. Si l'un des crochets est égal à zéro, toute l'équation est égale à zéro et vous avez trouvé une solution. Regardez la dernière étape [( x
+ 3) ( x
+ 3) \u003d 0] et vous verrez que la seule fois où les crochets sortent à zéro est si x
\u003d −3. Dans la plupart des cas, cependant, les équations quadratiques ont deux solutions.

La factorisation est encore plus difficile si un
n'est pas égal à un, mais se concentrer sur des cas simples est préférable au début.
Compléter le carré pour résoudre l'équation

Compléter le carré vous aide à résoudre des équations quadratiques qui ne peuvent pas être facilement factorisées. Cette méthode peut fonctionner pour n'importe quelle équation quadratique, mais certaines équations lui conviennent plus que d'autres. L'approche consiste à transformer l'expression en un carré parfait et à le résoudre. Un carré parfait générique se développe comme ceci:

( x
+ d
) ^{2 \u003d x
2 + 2_dx_ + d
2}

Pour résoudre une équation quadratique en complétant le carré, obtenez l'expression sous la forme à droite de ce qui précède. Divisez d'abord le nombre de la position b
par 2, puis mettez le résultat au carré. Donc pour l'équation:

x

^{2 + 8_x_ \u003d 0}

Le coefficient b
\u003d 8, donc b
÷ 2 \u003d 4 et ( b
÷ 2) ^{2 \u003d 16.}

Ajoutez aux deux côtés pour obtenir:

x

^{2 + 8_x_ + 16 \u003d 16}

Notez que cette forme correspond à la forme carrée parfaite, avec d
\u003d 4, donc 2_d_ \u003d 8 et d
^{2 \u003d 16. Cela signifie que:}

x

<sup>2 + 8_x_ + 16 \u003d ( x
+ 4) 2</sup>

Insérez ceci dans l'équation précédente pour obtenir:

( x
+ 4) ^{2 \u003d 16}

Résoudre maintenant l'équation pour x
. Prenez la racine carrée des deux côtés pour obtenir:

x

+ 4 \u003d √16

Soustrayez 4 des deux côtés pour obtenir:

x

\u003d √ (16) - 4

La racine peut être positive ou négative, et prendre la racine négative donne:

x

\u003d −4 - 4 \u003d −8

Trouvez l'autre solution avec la racine positive:

x

\u003d 4 - 4 \u003d 0

Par conséquent, la seule solution non nulle est −8. Vérifiez cela avec l'expression d'origine pour confirmer.
Utilisation de la formule quadratique pour résoudre l'équation

La formule de l'équation quadratique semble plus compliquée que les autres méthodes, mais c'est la méthode la plus fiable, et vous pouvez l'utiliser sur n'importe quelle équation quadratique. L'équation utilise les symboles de l'équation quadratique standard:

hache

<sup>2 + bx
+ c
\u003d 0</sup>

Et déclare que:

x

\u003d [- b

± √ ( b
^{2 - 4_ac_)] ÷ 2_a_}

Insérez les nombres appropriés à leur place et étudiez la formule à résoudre, en vous rappelant d'essayer à la fois de soustraire et d'ajouter le terme racine carrée et notez les deux réponses. Pour l'exemple suivant:

x

^{2 + 6_x_ + 5 \u003d 0}

Vous avez a
\u003d 1, b
\u003d 6 et c
\u003d 5. La formule donne donc:

x

\u003d [−6 ± √ (6 ^{2 - 4 × 1 × 5)] ÷ 2 × 1}

\u003d [−6 ± √ (36 - 20)] ÷ 2

\u003d [−6 ± √ (16)] ÷ 2

\u003d (−6 ± 4) ÷ 2

Prendre le signe positif donne:

x

\u003d (−6 + 4) ÷ 2

\u003d −2 ÷ 2 \u003d −1

Et prendre le signe négatif donne:

x
\u003d (−6 - 4) ÷ 2

\u003d −10 ÷ 2 \u003d −5

Quelles sont les deux solutions pour l'équation.
Comment déterminer la meilleure méthode pour résoudre des équations quadratiques

Recherchez une factorisation avant d'essayer autre chose. Si vous pouvez en repérer un, c'est le moyen le plus rapide et le plus simple de résoudre une équation quadratique. N'oubliez pas que vous recherchez deux nombres qui totalisent le b
coefficient et se multiplient pour donner le c
coefficient. Pour cette équation:

x

^{2 + 5_x_ + 6 \u003d 0}

Vous pouvez repérer que 2 + 3 \u003d 5 et 2 × 3 \u003d 6, donc:

x

<sup>2 + 5_x_ + 6 \u003d ( x
+ 2) ( x
+ 3) \u003d 0</sup>

Et x
\u003d −2 ou x
\u003d −3.

Si vous ne voyez pas une factorisation, vérifiez si le coefficient b
est divisible par 2 sans avoir recours à des fractions. Si tel est le cas, remplir le carré est probablement le moyen le plus simple de résoudre l'équation.

Si aucune des deux approches ne semble appropriée, utilisez la formule. Cela semble être l'approche la plus difficile, mais si vous êtes à un examen ou si vous êtes pressé par le temps, cela peut rendre le processus beaucoup moins stressant et beaucoup plus rapide.