La plupart des gens se souviennent du théorème de Pythagore de la géométrie débutante - c'est un classique. C'est a TL; DR (trop long; n'a pas lu) TL; DR (trop long; n'a pas lu) Les identités pythagoriciennes sont des équations qui écrivent le théorème de Pythagore en termes de fonctions trigonométriques. Les principales identités pythagoriciennes sont: sin 2 ( θ 1 + tan 2 ( θ 1 + cot 2 ( θ Le pythagoricien les identités sont des exemples d'identités trigonométriques: des égalités (équations) qui utilisent des fonctions trigonométriques. Les identités pythagoriciennes peuvent être très utiles pour simplifier des instructions et des équations trigonométriques complexes. Mémorisez-les maintenant, et vous pourrez gagner beaucoup de temps sur la route! Ces identités sont assez simples à prouver si vous pensez aux définitions des trigonométriques les fonctions. Par exemple, prouvons que sin 2 ( θ N'oubliez pas que la définition du sinus est le côté opposé /l'hypoténuse, et ce cosinus est le côté adjacent /l'hypoténuse. Donc sin 2 \u003d opposé 2 /hypotenuse 2 Et cos 2 \u003d adjacent 2 /hypoténuse 2 Vous pouvez facilement ajouter ces deux ensemble car les dénominateurs sont les mêmes. sin 2 + cos 2 \u003d (opposé 2 + adjacent 2) /hypoténuse 2 Maintenant, jetez un autre regard au théorème de Pythagore. Il dit que a Vous pouvez réorganiser le équation en divisant les deux côtés par c a ( a Puisque a Donc (opposé 2+ adjacent 2) /hypoténuse 2 \u003d 1, et donc: sin 2 + cos 2 \u003d 1. (Et il vaut mieux l'écrire correctement: sin 2 ( θ Passons aussi quelques minutes à regarder les identités réciproques. Rappelez-vous que l'inverse est un divisé par ("sur") votre nombre - également connu comme l'inverse. Puisque cosecant est l'inverse du sinus, csc ( θ Vous pouvez également penser à la cosécante en utilisant la définition du sinus. Par exemple, sinus \u003d côté opposé /hypoténuse. L'inverse de cela sera la fraction inversée, qui est hypoténuse /côté opposé. De même, l'inverse du cosinus est sécant, il est donc défini comme sec ( θ Et l'inverse de la tangente est cotangent, donc cot ( θ Les preuves pour les identités pythagoriciennes utilisant la sécante et la cosécante sont très similaires à celle pour le sinus et le cosinus. Vous pouvez également dériver les équations en utilisant l'équation "parent", sin 2 ( θ Bonne chance et n'oubliez pas de mémoriser les trois identités pythagoriciennes!
2 + b
2 \u003d c
2, où a
, b
et c
sont les côtés d'un triangle rectangle ( c
est l'hypoténuse). Eh bien, ce théorème peut également être réécrit pour la trigonométrie!
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1
) \u003d sec 2 ( θ
)
) \u003d csc 2 ( θ
)
Pourquoi est-ce important?
Preuve en utilisant les définitions des fonctions trigonométriques
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1.
2 + b
2 \u003d c
2. Gardez à l'esprit que a
et b
représentent les côtés opposés et adjacents, et c
représente l'hypoténuse.
2:
2 + b
2 \u003d c
2
2 + b
2) / c
2 \u003d 1
2 et b
2 sont les côtés opposés et adjacents et c
2 est l'hypoténuse, vous avez une instruction équivalente à celle ci-dessus, avec (opposé 2 + adjacent 2) /hypotenuse 2. Et grâce au travail avec a
, b
, c
et le théorème de Pythagore, vous pouvez maintenant voir cette déclaration égale 1!
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1).
Les identités réciproques
) \u003d 1 /sin ( θ
).
) \u003d 1 /cos ( θ
), ou hypoténuse /côté adjacent.
) \u003d 1 /tan ( θ
), ou cot \u003d côté adjacent /côté opposé.
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1. Divisez les deux côtés par cos 2 ( θ
) pour obtenir l'identité 1 + tan 2 ( θ
) \u003d sec 2 ( θ
). Divisez les deux côtés par sin 2 ( θ
) pour obtenir l'identité 1 + cot 2 ( θ
) \u003d csc 2 ( θ
).