En géométrie, un radian est une unité utilisée pour mesurer les angles. Le radian provient de la longueur du rayon du cercle. Le segment de la circonférence d'un cercle qui correspond à l'angle formé par deux lignes de rayon forme un arc. L'angle que crée cet arc, lorsque vous tracez des lignes depuis ses points de départ et d'arrivée jusqu'au centre du cercle, est d'un radian. Bien que le radian puisse sembler étrange et compliqué au début, il simplifie les équations en mathématiques et en physique.

TL; DR (trop long; n'a pas lu)

En géométrie, un radian est un unité basée sur le cercle et utilisée pour mesurer les angles. Il facilite les calculs dans les types avancés de mathématiques.
Degrés vs Radians

En dehors de la physique et des mathématiques avancées, les degrés sont généralement des unités plus familières pour les mesures angulaires. Un cercle, par exemple, a 360 degrés, un triangle a 180 et un angle droit a 90. En revanche, un cercle complet a 2 × π (pi) radians, un triangle a π radians et un angle droit est π ÷ 2 radians . Un cercle a un nombre entier de degrés, alors qu'en radians la valeur est un nombre irrationnel, donc les radians à première vue peuvent sembler étranges. D'un autre côté, vous pouvez exprimer des fractions de degré sous forme décimale, ou sous forme de minutes, de secondes et de secondes décimales que vous utilisez également avec le temps, de sorte que le degré a ses propres problèmes.
Plus simple et plus difficile

Les mesures des degrés sont généralement plus faciles à gérer que les radians pour l'arithmétique et la trigonométrie de base; vous devez rarement faire face à des fractions de π lorsque vous exprimez un angle. Mais pour le calcul et d'autres mathématiques avancées, il s'avère que les radians sont plus faciles. Par exemple, la série de puissance pour la fonction sinus en radians est la suivante:

sin (x) \u003d x - (x ^{3 ÷ 3!) + (X 5 ÷ 5!) - (x 7 ÷ 7!) + (x 9 ÷ 9!) ...}

En degrés, la fonction ressemble à ceci:

sin (x) \u003d (π × x ÷ 180) - (π × x ÷ 180) ^{3 ÷ 3! + (π × x ÷ 180) 5 ÷ 5! - (π × x ÷ 180) 7 ÷ 7! + (π × x ÷ 180) 9 ÷ 9! ...}

Pour cette série de puissance, notez que vous devez répéter le "π × x ÷ 180" pour chaque terme - beaucoup d'écriture et de calcul supplémentaires par rapport au plus net, équivalent plus compact en radians. Le radian provient de la géométrie naturelle d'un cercle plutôt que d'une division par un nombre arbitraire, comme le font les degrés. Parce que les radians facilitent de nombreux calculs, les mathématiciens considèrent l'unité comme plus «naturelle» que les degrés.
Utilisations pour les radians

En plus des séries de puissance telles que l'exemple de la fonction sinusoïdale, vous verrez des radians en mathématiques impliquant le calcul et les équations différentielles. Par exemple, lorsque vous utilisez des radians, la dérivée de la fonction sinus, sin (x), est simplement le cosinus, cos (x). En degrés, cependant, la dérivée de sin (x) est la plus lourde (π ÷ 180) × cos (x). À mesure que vous progressez en mathématiques, les problèmes deviennent plus difficiles et les solutions nécessitent beaucoup plus de lignes de calcul et d'algèbre. Les radians vous font économiser beaucoup d'écriture supplémentaire inutile et réduisent les risques d'erreur.

En physique, les formules pour la fréquence des ondes et la vitesse de rotation des objets utilisent un oméga minuscule, «ω» comme un raccourci pratique pour «2 × π × radians par seconde».
Conversion de degrés en radians

Les formules pour convertir les degrés en radians et vice-versa sont simples. Pour convertir des angles en degrés en radians, multipliez l'angle par π, puis divisez-le par 180. Par exemple, un cercle a 360 degrés. Multiplié par π, cela devient 360π; puis divisez par 180 et vous obtenez 2π radians. Pour convertir des radians en degrés, multipliez par 180, puis divisez par π. Par exemple, convertissez un angle droit, π ÷ 2 radians. Multipliez par 180 pour obtenir 90π, puis divisez par π pour obtenir le résultat, 90 degrés.