Avant de commencer à simplifier ou à manipuler d'autres expressions rationnelles, prenez un moment pour passer en revue l’expression rationnelle elle-même: fraction contenant un polynôme à la fois en numérateur et en dénominateur. Ou, pour le dire autrement, un ratio d'un polynôme à un autre. Une fois que vous avez identifié une expression rationnelle, le processus de simplification se résume en trois étapes.
Les étapes de la simplification des expressions rationnelles

Le processus de simplification des fonctions rationnelles suit une feuille de route assez simple. La première chose que vous devez faire est de combiner des termes similaires, si vous ne l’avez pas encore fait, pour vous aider à voir clairement les polynômes.

Ensuite, factorisez chaque polynôme. Parfois, tout ce que vous avez à faire est d’écrire chaque terme. Par exemple, il est clair que 4x (qui est en fait un polynôme, même s'il n'a qu'un terme) a deux facteurs: 4 et x. Mais avec des polynômes plus compliqués, votre meilleur outil consiste souvent à reconnaître des modèles pour des types de polynômes spécifiques que vous avez déjà appris. Par exemple, si vous prêtez une attention particulière à vos formules, vous vous souviendrez peut-être qu’un polynôme de la forme a ^{2 - b 2 est déterminant pour (a + b) (a - b).
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Une fois que vos polynômes sont entièrement factorisés, la dernière étape consiste à les annuler. facteurs communs qui apparaissent à la fois dans le numérateur et le dénominateur. Le résultat est votre polynôme simplifié.

TL; DR (Trop long; vous n'avez pas lu)

Et si les polynômes de votre expression rationnelle ne sont pas d'une forme que vous savez comment facteur facilement? Vous pouvez utiliser d'autres techniques pour les factoriser, telles que compléter le carré ou utiliser la formule quadratique.
Avertissement concernant le dénominateur

Vous ne serez peut-être pas surpris d'apprendre qu'il y a un petit problème ici. Habituellement, le domaine (ou un ensemble de valeurs x possibles) de votre expression rationnelle est supposé être l'ensemble de tous les nombres réels. Mais si quelque chose arrive à faire le dénominateur de votre fraction zéro, le résultat est une fraction non définie.

Qu'est-ce qui ferait que votre dénominateur serait zéro? Habituellement, un petit examen suffit pour le savoir. Par exemple, si le dénominateur de votre fraction a été réduit aux facteurs (x + 2) (x - 2), alors la valeur x = -2 rendrait le premier facteur égal à zéro et x = 2 ferait la deuxième facteur égal à zéro.

Les deux valeurs, -2 et 2, doivent donc être exclues du domaine de votre expression rationnelle. Vous noterez généralement ceci avec le signe "pas égal" ou. Par exemple, si vous avez besoin d'exclure -2 et 2 du domaine, vous devez écrire x ≠ -2, 2.
Simplification des expressions rationnelles: exemples

Maintenant que vous comprenez le processus de simplification de rationnel expressions, il est temps de regarder quelques exemples.

Exemple 1: simplifiez l'expression rationnelle (x ^{2 - 4) /(x 2+ 4x 4x + 4)}

Il n'y a pas de termes similaires à combiner ici, vous pouvez donc sauter cette première étape. Ensuite, avec vos yeux vifs et un peu de pratique, vous remarquerez que le numérateur et le dénominateur sont facilement factorisés:

(x + 2) (x - 2) /(x + 2) (x + 2 )

Vous remarquerez peut-être aussi que (x + 2) est un facteur à la fois au numérateur et au dénominateur. Une fois que vous annulez le facteur partagé, il vous reste:

(x - 2) /(x + 2)

Vous avez simplifié votre expression rationnelle autant que vous le pouvez, mais il reste encore une chose à faire: Identifiez les "zéros" ou les racines qui donneraient une fraction non définie, afin de pouvoir les exclure du domaine. Dans ce cas, il est facile de constater en examinant que lorsque x = -2, le facteur du bas sera égal à zéro. Donc, votre expression rationnelle simplifiée est en réalité:

(x - 2) /(x + 2), x ≠ -2

Exemple 2: simplifiez l'expression rationnelle x /(x ^{2 - 4x)}

Il n’existe pas de termes similaires à associer, vous pouvez donc passer directement à l’affacturage par examen. Il n’est pas trop difficile de remarquer que vous pouvez factoriser un x du terme inférieur, ce qui vous donne:

x /x (x - 4)

Vous pouvez annuler le facteur x des deux numérateur et dénominateur, ce qui vous laisse avec:

1 /(x - 4)

Votre expression rationnelle est maintenant simplifiée, mais vous devez également noter les valeurs x qui aboutiraient à un non défini fraction. Dans ce cas, x = 4 renverrait une valeur de zéro dans le dénominateur. Donc, votre réponse est:

1 /(x - 4), x 4