En mathématiques, un contre-exemple est utilisé pour réfuter une affirmation. Si vous voulez prouver qu'une affirmation est vraie, vous devez rédiger une preuve démontrant qu'elle est toujours vraie. donner un exemple ne suffit pas. Par rapport à l'écriture d'une preuve, l'écriture d'un contre-exemple est beaucoup plus simple. si vous voulez montrer qu'une déclaration n'est pas vraie, il vous suffit de fournir un exemple de scénario dans lequel la déclaration est fausse. La plupart des contre-exemples en algèbre impliquent des manipulations numériques.
Deux classes de mathématiques

La correction d'épreuves et la recherche de contre-exemples sont deux des classes de base des mathématiques. La plupart des mathématiciens se concentrent sur la correction d’épreuves pour développer de nouveaux théorèmes et propriétés. Lorsque des affirmations ou des conjectures ne peuvent pas être vérifiées, les mathématiciens les réfutent en donnant des contre-exemples.
Les contre-exemples sont concrets

Au lieu d'utiliser des variables et des notations abstraites, vous pouvez utiliser des exemples numériques pour réfuter un argument. En algèbre, la plupart des contre-exemples impliquent une manipulation en utilisant différents nombres positifs et négatifs ou impairs et pairs, des cas extrêmes et des nombres spéciaux comme 0 et 1.
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La philosophie du contre-exemple est que si dans un scénario, la déclaration n'est pas vraie, la déclaration est fausse. Un exemple non mathématique est "Tom n'a jamais dit de mensonge". Pour montrer que cette affirmation est vraie, vous devez fournir une "preuve" que Tom n'a jamais menti en traquant chaque affirmation que Tom a faite. Cependant, pour réfuter cette affirmation, il vous suffit de montrer un mensonge que Tom a jamais parlé.
Contre-exemples célèbres

"Tous les nombres premiers sont impairs." Bien que presque tous les nombres premiers, y compris tous les nombres premiers supérieurs à 3, soient impairs, "2" est un nombre premier pair; cette affirmation est fausse; "2" est le contre-exemple pertinent.

"La soustraction est commutative." L'addition et la multiplication sont commutatives - elles peuvent être effectuées dans n'importe quel ordre. C'est-à-dire que pour tout nombre réel a et b, a + b = b + a et a * b = b * a. Cependant, la soustraction n'est pas commutative; un contre-exemple prouvant que c'est: 3 - 5 n'est pas égal à 5 ​​- 3.

"Chaque fonction continue est différentiable." La fonction absolue | x |  est continu pour tous les nombres positifs et négatifs; mais il n'est pas différentiable à x = 0; depuis | x |  est une fonction continue, ce contre-exemple prouve que toutes les fonctions continues ne sont pas différentiables.