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    Que sont les identités pythagoriciennes?

    La plupart des gens se souviennent du théorème de Pythagore de la géométrie débutante - c'est un classique. C'est a
    2 + b
    2 \u003d c
    2, où a
    , b
    et c
    sont les côtés d'un triangle rectangle ( c
    est l'hypoténuse). Eh bien, ce théorème peut également être réécrit pour la trigonométrie!

    TL; DR (trop long; n'a pas lu)

    TL; DR (trop long; n'a pas lu)

    Les identités pythagoriciennes sont des équations qui écrivent le théorème de Pythagore en termes de fonctions trigonométriques.

    Les principales identités pythagoriciennes sont:

    sin 2 ( θ
    ) + cos 2 ( θ
    ) \u003d 1

    1 + tan 2 ( θ
    ) \u003d sec 2 ( θ
    )

    1 + cot 2 ( θ
    ) \u003d csc 2 ( θ
    )

    Le pythagoricien les identités sont des exemples d'identités trigonométriques: des égalités (équations) qui utilisent des fonctions trigonométriques.
    Pourquoi est-ce important?

    Les identités pythagoriciennes peuvent être très utiles pour simplifier des instructions et des équations trigonométriques complexes. Mémorisez-les maintenant, et vous pourrez gagner beaucoup de temps sur la route!
    Preuve en utilisant les définitions des fonctions trigonométriques

    Ces identités sont assez simples à prouver si vous pensez aux définitions des trigonométriques les fonctions. Par exemple, prouvons que sin 2 ( θ
    ) + cos 2 ( θ
    ) \u003d 1.

    N'oubliez pas que la définition du sinus est le côté opposé /l'hypoténuse, et ce cosinus est le côté adjacent /l'hypoténuse.

    Donc sin 2 \u003d opposé 2 /hypotenuse 2

    Et cos 2 \u003d adjacent 2 /hypoténuse 2

    Vous pouvez facilement ajouter ces deux ensemble car les dénominateurs sont les mêmes.

    sin 2 + cos 2 \u003d (opposé 2 + adjacent 2) /hypoténuse 2

    Maintenant, jetez un autre regard au théorème de Pythagore. Il dit que a
    2 + b
    2 \u003d c
    2. Gardez à l'esprit que a
    et b
    représentent les côtés opposés et adjacents, et c
    représente l'hypoténuse.

    Vous pouvez réorganiser le équation en divisant les deux côtés par c
    2:

    a
    2 + b
    2 \u003d c
    2

    ( a
    2 + b
    2) / c
    2 \u003d 1

    Puisque a
    2 et b
    2 sont les côtés opposés et adjacents et c
    2 est l'hypoténuse, vous avez une instruction équivalente à celle ci-dessus, avec (opposé 2 + adjacent 2) /hypotenuse 2. Et grâce au travail avec a
    , b
    , c
    et le théorème de Pythagore, vous pouvez maintenant voir cette déclaration égale 1!

    Donc (opposé 2+ adjacent 2) /hypoténuse 2 \u003d 1,

    et donc: sin 2 + cos 2 \u003d 1.

    (Et il vaut mieux l'écrire correctement: sin 2 ( θ
    ) + cos 2 ( θ
    ) \u003d 1).
    Les identités réciproques

    Passons aussi quelques minutes à regarder les identités réciproques. Rappelez-vous que l'inverse est un divisé par ("sur") votre nombre - également connu comme l'inverse.

    Puisque cosecant est l'inverse du sinus, csc ( θ
    ) \u003d 1 /sin ( θ
    ).

    Vous pouvez également penser à la cosécante en utilisant la définition du sinus. Par exemple, sinus \u003d côté opposé /hypoténuse. L'inverse de cela sera la fraction inversée, qui est hypoténuse /côté opposé.

    De même, l'inverse du cosinus est sécant, il est donc défini comme sec ( θ
    ) \u003d 1 /cos ( θ
    ), ou hypoténuse /côté adjacent.

    Et l'inverse de la tangente est cotangent, donc cot ( θ
    ) \u003d 1 /tan ( θ
    ), ou cot \u003d côté adjacent /côté opposé.

    Les preuves pour les identités pythagoriciennes utilisant la sécante et la cosécante sont très similaires à celle pour le sinus et le cosinus. Vous pouvez également dériver les équations en utilisant l'équation "parent", sin 2 ( θ
    ) + cos 2 ( θ
    ) \u003d 1. Divisez les deux côtés par cos 2 ( θ
    ) pour obtenir l'identité 1 + tan 2 ( θ
    ) \u003d sec 2 ( θ
    ). Divisez les deux côtés par sin 2 ( θ
    ) pour obtenir l'identité 1 + cot 2 ( θ
    ) \u003d csc 2 ( θ
    ).

    Bonne chance et n'oubliez pas de mémoriser les trois identités pythagoriciennes!

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