La plupart des gens se souviennent du théorème de Pythagore de la géométrie débutante - c'est un classique. C'est a
^{2 + b
2 \u003d c
2, où a
, b
et c
sont les côtés d'un triangle rectangle ( c
est l'hypoténuse). Eh bien, ce théorème peut également être réécrit pour la trigonométrie!}

TL; DR (trop long; n'a pas lu)

TL; DR (trop long; n'a pas lu)

Les identités pythagoriciennes sont des équations qui écrivent le théorème de Pythagore en termes de fonctions trigonométriques.

Les principales identités pythagoriciennes sont:

sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1}

1 + tan ^{2 ( θ
) \u003d sec 2 ( θ
)}

1 + cot ^{2 ( θ
) \u003d csc 2 ( θ
)}

Le pythagoricien les identités sont des exemples d'identités trigonométriques: des égalités (équations) qui utilisent des fonctions trigonométriques.
Pourquoi est-ce important?

Les identités pythagoriciennes peuvent être très utiles pour simplifier des instructions et des équations trigonométriques complexes. Mémorisez-les maintenant, et vous pourrez gagner beaucoup de temps sur la route!
Preuve en utilisant les définitions des fonctions trigonométriques

Ces identités sont assez simples à prouver si vous pensez aux définitions des trigonométriques les fonctions. Par exemple, prouvons que sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1.}

N'oubliez pas que la définition du sinus est le côté opposé /l'hypoténuse, et ce cosinus est le côté adjacent /l'hypoténuse.

Donc sin ^{2 \u003d opposé 2 /hypotenuse 2}

Et cos ^{2 \u003d adjacent 2 /hypoténuse 2}

Vous pouvez facilement ajouter ces deux ensemble car les dénominateurs sont les mêmes.

sin ^{2 + cos 2 \u003d (opposé 2 + adjacent 2) /hypoténuse 2}

Maintenant, jetez un autre regard au théorème de Pythagore. Il dit que a
<sup>2 + b
2 \u003d c
2. Gardez à l'esprit que a
et b
représentent les côtés opposés et adjacents, et c
représente l'hypoténuse.</sup>

Vous pouvez réorganiser le équation en divisant les deux côtés par c
^2:

a
^{2 + b
2 \u003d c
2}

( a
^{2 + b
2) / c
2 \u003d 1}

Puisque a
^{2 et b
2 sont les côtés opposés et adjacents et c
2 est l'hypoténuse, vous avez une instruction équivalente à celle ci-dessus, avec (opposé 2 + adjacent 2) /hypotenuse 2. Et grâce au travail avec a
, b
, c
et le théorème de Pythagore, vous pouvez maintenant voir cette déclaration égale 1!}

Donc (opposé ^{2+ adjacent 2) /hypoténuse 2 \u003d 1,}

et donc: sin ^{2 + cos 2 \u003d 1.}

(Et il vaut mieux l'écrire correctement: sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1).
Les identités réciproques}

Passons aussi quelques minutes à regarder les identités réciproques. Rappelez-vous que l'inverse est un divisé par ("sur") votre nombre - également connu comme l'inverse.

Puisque cosecant est l'inverse du sinus, csc ( θ
) \u003d 1 /sin ( θ
).

Vous pouvez également penser à la cosécante en utilisant la définition du sinus. Par exemple, sinus \u003d côté opposé /hypoténuse. L'inverse de cela sera la fraction inversée, qui est hypoténuse /côté opposé.

De même, l'inverse du cosinus est sécant, il est donc défini comme sec ( θ
) \u003d 1 /cos ( θ
), ou hypoténuse /côté adjacent.

Et l'inverse de la tangente est cotangent, donc cot ( θ
) \u003d 1 /tan ( θ
), ou cot \u003d côté adjacent /côté opposé.

Les preuves pour les identités pythagoriciennes utilisant la sécante et la cosécante sont très similaires à celle pour le sinus et le cosinus. Vous pouvez également dériver les équations en utilisant l'équation "parent", sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1. Divisez les deux côtés par cos 2 ( θ
) pour obtenir l'identité 1 + tan 2 ( θ
) \u003d sec 2 ( θ
). Divisez les deux côtés par sin 2 ( θ
) pour obtenir l'identité 1 + cot 2 ( θ
) \u003d csc 2 ( θ
).}

Bonne chance et n'oubliez pas de mémoriser les trois identités pythagoriciennes!