Lorsque vous êtes présenté avec une matrice dans un cours de mathématiques ou de physique, il vous sera souvent demandé de trouver ses valeurs propres. Si vous n'êtes pas sûr de ce que cela signifie ou comment le faire, la tâche est intimidante et implique beaucoup de terminologies confuses qui aggravent les choses. Cependant, le processus de calcul des valeurs propres n'est pas trop difficile si vous êtes à l'aise avec la résolution d'équations quadratiques (ou polynomiales), à condition d'apprendre les bases des matrices, valeurs propres et vecteurs propres.
Matrices, valeurs propres et vecteurs propres: ce qu'ils signifient

Les matrices sont des tableaux de nombres où A représente le nom d'une matrice générique, comme ceci:

(
1 3)

A
\u003d (4 2)

Les nombres dans chaque position varient, et il peut même y avoir des expressions algébriques à leur place. Il s'agit d'une matrice 2 × 2, mais elles sont de tailles différentes et n'ont pas toujours un nombre égal de lignes et de colonnes.

Le traitement des matrices est différent du traitement des nombres ordinaires, et il existe des règles pour les multiplier, les diviser, les additionner et les soustraire les uns des autres. Les termes «valeur propre» et «vecteur propre» sont utilisés en algèbre matricielle pour désigner deux quantités caractéristiques par rapport à la matrice. Ce problème de valeur propre vous aide à comprendre ce que signifie le terme:

A
∙ v \u003d λ ∙ v

A est une matrice générale comme précédemment, v est un vecteur, et λ est une valeur caractéristique. Regardez l'équation et notez que lorsque vous multipliez la matrice par le vecteur v, l'effet est de reproduire le même vecteur juste multiplié par la valeur λ. Ceci est un comportement inhabituel et obtient les noms spéciaux du vecteur v et de la quantité λ: le vecteur propre et la valeur propre. Ce sont des valeurs caractéristiques de la matrice, car la multiplication de la matrice par le vecteur propre laisse le vecteur inchangé, à l'exception de la multiplication par un facteur de la valeur propre.
Comment calculer les valeurs propres

Si vous avez le problème des valeurs propres pour la matrice sous une forme ou une autre, il est facile de trouver la valeur propre (car le résultat sera un vecteur identique à l'original, sauf multiplié par un facteur constant - la valeur propre). La réponse est trouvée en résolvant l'équation caractéristique de la matrice:

det (A - λ I
) \u003d 0

Où I est la matrice d'identité, qui est vide mis à part une série de 1 en diagonale dans la matrice. "Det" fait référence au déterminant de la matrice qui, pour une matrice générale:

(ab)

A
\u003d (cd)

Is donnée par

det A \u003d ad –bc

Donc l'équation caractéristique signifie:

(a - λ b)

det (A - λ < b> I
) \u003d (cd - λ) \u003d (a - λ) (d - λ) - bc \u003d 0

Comme exemple de matrice, définissons A comme:

(0 1)

A
\u003d (−2 −3)

Cela signifie donc:

det (A - λ I
) \u003d (0 - λ) (- 3 - λ) - (1 × −2) \u003d 0

\u003d −λ (−3 - λ) + 2

\u003d λ < sup> 2 + 3 λ + 2 \u003d 0

Les solutions pour λ sont les valeurs propres, et vous résolvez cela comme n'importe quelle équation quadratique. Les solutions sont λ \u003d - 1 et λ \u003d - 2.

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