À l'approche du Super Bowl, les athlètes et les fans du monde entier se concentrent fermement sur le grand match. Mais pour les jeunes athlètes, le grand jeu peut évoquer un petit problème relatif aux scores possibles dans un match de football. Avec des options limitées pour le nombre de points que vous pouvez marquer, certains totaux ne peuvent tout simplement pas être atteints, mais quel est le plus élevé? Si vous voulez savoir quels sont les liens entre pièces de monnaie, football et pépites de poulet McDonald's, c’est un problème pour vous.
Le problème de maths du Super Bowl

Le problème concerne les scores possibles, soit les Rams de Los Angeles, soit les nouveaux Les Patriots d’Angleterre pourraient éventuellement réaliser dimanche sans une sécurité ou une conversion en deux points. En d’autres termes, les moyens possibles d’augmenter leurs scores sont les buts sur le terrain à 3 points et les touchés à 7 points. Donc, sans sécurité, vous ne pouvez pas marquer 2 points dans une partie avec une combinaison de 3 et 7. De même, vous ne pouvez pas non plus atteindre le score de 4, ni le score de 5.

La question est: quel est le score le plus élevé que ne puisse pas être atteint avec seulement 3 points Buts sur le terrain et touchés à 7 points?
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Bien sûr, les touchés. sans conversion valent 6, mais puisque vous pouvez y arriver avec deux buts sur le terrain de toute façon, peu importe le problème. De plus, comme nous traitons de mathématiques ici, vous n'avez pas à vous soucier de la tactique de l'équipe en question ni même des limites quant à sa capacité à marquer des points.

Essayez de résoudre ce problème vous-même avant de continuer!
Trouver une solution (la voie lente)

Ce problème a quelques solutions mathématiques complexes (voir Ressources pour plus de détails, mais le résultat principal sera présenté ci-dessous), mais c'est un bon exemple de la façon dont ce n'est pas le cas. t a besoin de
pour trouver la réponse.

Tout ce que vous avez à faire pour trouver une solution en force brute est d’essayer simplement chacun des scores à la fois. Nous savons donc que vous ne pouvez pas marquer 1 ou 2, car ils sont moins de 3. Nous avons déjà établi que 4 et 5 ne sont pas possibles, mais 6 est, avec deux buts. Après 7 (ce qui est possible), pouvez-vous marquer 8? Nan. Trois objectifs de terrain donnent 9, et un but et un touché converti en font 10. Mais vous ne pouvez pas en obtenir 11.

À partir de là, un petit travail montre que:
\\ begin {aligné} 3 × 4 &= 12 \\\\ 7 + (3 × 2) &= 13 \\\\ 7 × 2 &= 14 \\\\ 3 × 5 &= 15 \\\\ 7 + (3 × 3) &= 16 \\\\ (7 × 2) + 3 &= 17 \\ fin {aligné}

Et en fait, vous pouvez continuer comme cela aussi longtemps que vous le souhaitez. La réponse semble être 11. Mais est-ce vrai?
La solution algébrique

Les mathématiciens appellent ces problèmes «problèmes de pièces de Frobenius». La forme originale se rapportait aux pièces de monnaie, telles que: Si vous n'aviez que des pièces de monnaie valorisées 4 centimes et 11 centimes (pas de vraies pièces, mais encore une fois, ce sont des problèmes de mathématiques pour vous), quelle est la plus grande quantité d'argent que vous ne pouviez pas produire.

La solution, en termes d'algèbre, est celle avec un score vaut p
points et un score vaut q, points, le plus haut score que vous ne pouvez pas obtenir ( N
) est donné par:
N = pq \\; - \\; (p + q)

Donc, brancher les valeurs du problème du Super Bowl donne:
\\ begin {aligné} N &= 3 × 7 \\; - \\; (3 + 7) \\\\ &= 21 \\; - \\; 10 \\\\ &= 11 \\ end {alignés}

Quelle est la réponse que nous avons eu la manière lente. Et si vous ne pouviez marquer que des touchés sans conversion (6 points) et des touchés avec des conversions en un point (7 points)? Voyez si vous pouvez utiliser la formule pour la résoudre avant de la lire.

Dans ce cas, la formule devient:
\\ begin {alignée} N &= 6 × 7 \\; - \\; (6 + 7) \\\\ &= 42 \\; - \\; 13 \\\\ &= 29 \\ end {alignés} Le problème du poulet McNugget

Le jeu est terminé et vous souhaitez récompenser l'équipe gagnante d'un voyage chez McDonald's. Mais ils ne vendent les McNuggets qu’en boîtes de 9 ou 20. Par conséquent, quel est le plus grand nombre de pépites que vous ne pouvez pas acheter avec ces numéros de boîtes (obsolètes)? Essayez d’utiliser la formule pour trouver la réponse avant de continuer à lire.

Since
N = pq \\; - \\; (p + q)

Et avec p
= 9 et q
= 20:
\\ begin {aligné} N &= 9 × 20 \\; - \\; (9 + 20) \\\\ &= 180 \\; - \\; 29 \\\\ &= 151 \\ fin {alignés}

Si vous achetiez plus de 151 pépites - l'équipe gagnante sera probablement très affamée, après tout - vous pouvez acheter le nombre de pépites que vous voulez avec une combinaison de boîtes.

Vous vous demandez peut-être pourquoi nous n’avons traité que les versions à deux chiffres de ce problème. Et si nous incorporions des sécurités, ou si McDonalds vendait trois tailles de boîtes de pépites? Il n’existe pas de formule claire dans ce cas, et bien que la plupart des versions puissent être résolues, certains aspects de la question ne sont absolument pas résolus.

Alors peut-être que lorsque vous regardez le jeu ou En mangeant des bouchées de poulet, vous pouvez affirmer que vous essayez de résoudre un problème non résolu en mathématiques - cela vaut la peine d'essayer de sortir des tâches ménagères!