Énergie cinétique de rotation Maintenant, si nous voulons décrire l'énergie cinétique d'un objet étendu subissant un mouvement plus complexe, le calcul devient plus délicat. Nous pourrions faire des approximations successives en décomposant l'objet étendu en petits morceaux, chacun pouvant être approximé comme une masse ponctuelle, puis calculer l'énergie cinétique linéaire pour chaque masse ponctuelle séparément, et les additionner tous pour trouver le total de l'objet. Plus l'objet est petit, plus l'approximation est bonne. Dans la limite où les pièces deviennent infinitésimales, cela peut être fait avec du calcul. Mais nous avons de la chance! En ce qui concerne le mouvement de rotation, il y a une simplification. Pour un objet en rotation, si nous décrivons sa distribution de masse autour de l'axe de rotation en fonction de son moment d'inertie, I Moment d'inertie Les unités SI pour le moment d'inertie sont kgm 2 (ce qui est cohérent avec notre notion selon laquelle cela dépend de la masse et de la distance de l'axe de rotation). Les moments d'inertie pour différents objets sont indiqués dans le tableau suivant: (Tableau des formules de moment d'inertie) Conseils Le moment d'inertie pour n'importe quel objet peut être trouvé en utilisant le calcul et la formule pour le moment d'inertie d'une masse ponctuelle. La formule pour l'énergie cinétique rotationnelle est donné par: Où I La forme de la formule d'énergie cinétique de rotation est analogue à l'équation de l'énergie cinétique de translation; le moment d'inertie joue le rôle de masse et la vitesse angulaire remplace la vitesse linéaire. Notez que l'équation d'énergie cinétique rotationnelle donne le même résultat pour une masse ponctuelle que l'équation linéaire. Si nous imaginons une masse ponctuelle m Si un objet est à la fois en rotation et que son centre de masse se déplace le long d'une trajectoire en ligne droite (comme cela se produit avec un pneu roulant, par exemple), alors l'énergie cinétique totale La formule d'énergie cinétique rotationnelle a de nombreuses applications. Il peut être utilisé pour calculer l'énergie cinétique simple d'un objet en rotation, pour calculer l'énergie cinétique d'un objet roulant (un objet subissant à la fois un mouvement de rotation et de translation) et pour résoudre d'autres inconnues. Prenons les trois exemples suivants: Exemple 1: la Terre tourne autour de son axe environ toutes les 24 heures. Si nous supposons qu'il a une densité uniforme, quelle est son énergie cinétique de rotation? (Le rayon de la terre est de 6,37 × 10 6 m, et sa masse est de 5,97 × 10 24 kg.) Pour trouver l'énergie cinétique de rotation, nous devons d'abord trouver le moment de inertie. En approximant la Terre comme une sphère solide, nous obtenons: La vitesse angulaire est de 2π radians /jour. La conversion en rad /s donne: Donc l'énergie cinétique de rotation de la Terre est alors: Fait amusant: c'est plus de 10 fois l'énergie totale que le soleil émet en une minute! Exemple 2: Un cylindre uniforme de masse 0,75 kg et de rayon 0,1 m roule sur le sol à une vitesse constante de 4 m /s. Quelle est son énergie cinétique? L'énergie cinétique totale est donnée par: Dans ce cas, I \u003d 1/2 mr 2 est le moment d'inertie pour un cylindre solide, et ω La simplification de l'expression de l'énergie cinétique totale et le branchement des valeurs donnent: Notez que nous n'avons pas même besoin d'utiliser le rayon! Il s'est annulé en raison de la relation directe entre la vitesse de rotation et la vitesse linéaire. Exemple 3: Un élève à vélo descend le long d'une colline pour se reposer. Si la hauteur verticale de la colline est de 30 m, à quelle vitesse l'élève va-t-il au bas de la colline? Supposons que le vélo pèse 8 kg, le cycliste pèse 50 kg, chaque roue pèse 2,2 kg (inclus dans le poids du vélo) et chaque roue a un diamètre de 0,7 m. Approximer les roues en arceaux et supposer que le frottement est négligeable. Ici, nous pouvons utiliser la conservation d'énergie mécanique pour trouver la vitesse finale. L'énergie potentielle en haut de la colline est transformée en énergie cinétique en bas. Cette énergie cinétique est la somme de l'énergie cinétique de translation de l'ensemble du système personne + vélo et des énergies cinétiques de rotation des pneus. Énergie totale du système: La formule de l'énergie totale en termes d'énergies cinétiques au bas de la colline est: La résolution de v Enfin, en insérant des chiffres, nous obtenons notre réponse:
décrit l'énergie de mouvement résultant de la rotation ou du mouvement circulaire d'un objet. Rappelons que l'énergie cinétique linéaire
d'une masse m
se déplaçant avec la vitesse v
est donnée par 1 /2mv 2. Il s'agit d'un calcul simple pour tout objet se déplaçant en ligne droite. Elle s'applique au centre de masse de l'objet, permettant d'approcher l'objet comme une masse ponctuelle.
, nous pouvons alors utiliser une simple équation d'énergie cinétique de rotation, discutée plus loin dans cet article .
Moment d'inertie
est une mesure de la difficulté de faire changer de mouvement de rotation un objet autour d'un axe particulier. Le moment d'inertie d'un objet en rotation dépend non seulement de la masse de l'objet, mais également de la façon dont cette masse est répartie autour de l'axe de rotation. Plus la masse est éloignée de l'axe, plus il est difficile de changer son mouvement de rotation, et donc plus le moment d'inertie est grand.
Équation d'énergie cinétique rotationnelle
KE_ {rot} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2
est le moment d'inertie de l'objet et ω
est la vitesse angulaire de l'objet en radians par seconde (rad /s). L'unité SI de l'énergie cinétique de rotation est le joule (J).
se déplaçant dans un cercle de rayon r
avec une vitesse v
, alors sa vitesse angulaire est ω \u003d v /r et son moment d'inertie est mr 2. Les deux équations d'énergie cinétique donnent le même résultat, comme prévu:
KE_ {rot} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2 \u003d \\ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v /r) ^ 2 \u003d \\ frac {1} {2} \\ frac {m \\ cancel {r ^ 2} v ^ 2} {\\ cancel {r ^ 2}} \u003d \\ frac {1} {2} mv ^ 2 \u003d KE_ {lin}
est la somme de l'énergie cinétique rotationnelle et des énergies cinétiques translationnelles:
KE_ {tot} \u003d KE_ {rot} + KE_ {lin} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2 + \\ frac {1} { 2} mv ^ 2 Exemples utilisant la formule d'énergie cinétique rotationnelle
I \u003d \\ frac {2} {5} mr ^ 2 \u003d \\ frac {2} {5} (5,97 \\ times10 ^ {24} \\ text {kg}) (6,37 \\ times10 ^ 6 \\ text {m}) ^ 2 \u003d 9,69 \\ times10 ^ {37} \\ text {kgm} ^ 2
2 \\ pi \\ frac {\\ text {radians}} {\\ cancel {\\ text {day}}} \\ frac {1 \\ cancel {\\ text {day}}} {86400 \\ text {seconds}} \u003d 7.27 \\ times10 ^ {- 5} \\ text {rad /s}
KE_ {rot} \u003d \\ frac {1} { 2} I \\ omega ^ 2 \u003d \\ frac {1} {2} (9,69 \\ times10 ^ {37} \\ text {kgm} ^ 2) (7,27 \\ times10 ^ {- 5} \\ text {rad /s}) ^ 2 \u003d 2,56 \\ fois 10 ^ {29} \\ text {J}
KE_ {tot} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2 + \\ frac {1} {2} mv ^ 2
est lié à la vitesse linéaire via ω \u003d v /r_ ._
KE_ {tot} \u003d \\ frac {1} {2} (\\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v /r) ^ 2 + \\ frac {1} {2} mv ^ 2 \u003d \\ frac {1} {4} mv ^ 2 + \\ frac {1} {2} mv ^ 2 \u003d \\ frac {3} { 4} mv ^ 2 \\\\ \u003d \\ frac {3} {4} (0,75 \\ text {kg}) (4 \\ text {m /s}) \u003d 2,25 \\ text {J}
E_ {tot} \u003d PE_ { haut} \u003d mgh \u003d (50 \\ text {kg} + 8 \\ text {kg}) (9.8 \\ text {m /s} ^ 2) (30 \\ text {m}) \u003d 17.052 \\ text {J}
E_ {tot} \u003d KE_ {bottom} \u003d \\ frac {1} {2} I_ {tires} \\ omega ^ 2 + \\ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\\\ \u003d \\ frac {1} {2} (2 \\ fois m_ {pneu} \\ fois r_ {pneu} ^ 2) (v /r_ {pneu}) ^ 2 + \\ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\\\ \u003d m_ {tire} v ^ 2 + \\ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\\\ \u003d (m_ {pneu } + \\ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2
donne:
v \u003d \\ sqrt {\\ frac {E_ {tot}} {m_ {tire} + \\ frac {1} {2} m_ {tot}}}
v \u003d \\ sqrt {\\ frac {17 052 \\ text {J}} { 2.2 \\ text {kg} + \\ frac {1} {2} 58 \\ text {kg}}} \u003d 23.4 \\ text {m /s}
