Solution : L'équation de Schrödinger pour ce système est :$$-\frac{\hbar^2}{2m}\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{ \partial y^2} \right )\psi(x,y)+\frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2)\psi(x,y)=E\psi (x,y)$$
Nous pouvons séparer les variables et supposer que la fonction d'onde peut être écrite comme un produit de deux fonctions, $\psi(x,y)=X(x)Y(y)$. En remplaçant cela dans l'équation de Schrödinger et en divisant par $ XY$, on obtient :
$$-\frac{1}{2m}\frac{X''}{X}=\frac{1}{2m}\frac{Y''}{Y}+\frac{1}{2}m \oméga^2(x^2+y^2)=E$$
Le LHS de cette équation dépend uniquement de x, tandis que le RHS dépend uniquement de y. Par conséquent, les deux côtés doivent être égaux à une constante, que l’on peut noter $E_n$,
$$-\frac{1}{2m}\frac{X''}{X}=E_n , \frac{1}{2m}\frac{Y''}{Y}=E-E_n.$$
Il s’agit de deux problèmes d’oscillateur harmonique unidimensionnels indépendants et leurs solutions sont bien connues. Les valeurs propres de l'énergie pour le mouvement dans la direction x sont :
$$E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right), n=0,1,2,...$$
De même, les valeurs propres de l'énergie pour le mouvement dans la direction y sont données par la même formule. Par conséquent, les valeurs propres de l’énergie totale pour le système bidimensionnel sont :
$$E_{n_x,n_y}=\hbar\omega\left(n_x+n_y+1\right), n_x,n_y=0,1,2,...$$
Les fonctions propres correspondantes sont des produits des fonctions d'onde de l'oscillateur harmonique unidimensionnel :
$$\psi_{n_x,n_y}(x,y)=\phi_{n_x}(x)\phi_{n_y}(y),$$
où
$$\phi_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2^n n!}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}H_n \ gauche(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x \right) e^{-m\omega x^2/2\hbar},$$
et $H_n$ sont les polynômes d'Hermite.
