Vous êtes assis en cours de mathématiques et essayez de survivre à votre dernier quiz pop. La sueur coule sur votre front lorsque vous lisez le message :"Trouvez la distance entre ces points."
La formule de distance que vous recherchez est assez simple et a des liens avec l'un des concepts les plus utiles et les plus célèbres de toutes les mathématiques :le théorème de Pythagore.
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La formule de distance est une équation algébrique utilisée pour trouver la longueur d'un segment de droite entre deux points sur un graphique, appelée système de coordonnées cartésiennes (également connu sous le nom de plan de coordonnées de points).
Ce plan bidimensionnel est défini par deux axes perpendiculaires (généralement appelés axe des x et axe des y) qui se coupent en un point central appelé origine. Voici comment cela s'exprime :
Dans un espace bidimensionnel avec deux points P (x₁, y₁) et Q(x₂, y₂), la distance (d) entre ces deux points est donnée par la formule :d =√ (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
Dans un espace tridimensionnel avec deux points P(x₁, y₁, z₁) et Q(x₂, y₂, z₂), la distance (d) entre ces deux points est donnée par la formule :d =√ (x₂ - x₁) ² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²
Ensuite, nous examinerons de plus près le plan de coordonnées des points, qui peut vous aider à trouver des points exacts grâce à leurs positions horizontales et verticales, ce qui est essentiel pour tout, des problèmes mathématiques à la navigation GPS.
Lorsque la plupart des gens entendent le mot « graphique », ils imaginent un graphique avec deux lignes – une verticale et une horizontale – qui se coupent à angle droit.
La ligne verticale s’appelle l’axe des y et sa contrepartie horizontale est l’axe des x. Les deux lignes fonctionnent ensemble pour raconter une histoire avec des données.
Si vous souhaitez donner un sens à l'endroit où se trouve un point sur votre graphique, mesurez où il se situe le long des deux dimensions (l'axe des x et l'axe des y). Celles-ci sont appelées coordonnées du point.
Vous devez trouver les coordonnées du premier point et du deuxième point avant de pouvoir calculer la distance qui les sépare. Vous utiliserez la formule de distance pour mesurer le segment de droite reliant les deux points.
Explorons maintenant la relation heureuse entre le théorème de Pythagore et la formule de distance.
Le théorème de Pythagore doit son nom au philosophe grec Pythagore, mais plus d'un millénaire avant sa naissance, les anciens Babyloniens comprenaient déjà le principe géométrique qui est désormais associé à son nom.
Essentiellement, le théorème de Pythagore nous indique comment trouver le côté le plus long d'un triangle lorsque nous connaissons les longueurs des deux autres côtés, et la formule de distance utilise cette idée pour mesurer la distance entre deux points sur un graphique en traitant les points. comme s'ils étaient aux coins d'un triangle rectangle.
Pour ceux qui ont besoin d'un petit rappel, le théorème de Pythagore dit :L'aire du carré construit sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égale à la somme des aires des carrés sur les côtés restants.
Il y a quelques points clés à comprendre ici. Un triangle rectangle, ou triangle rectangle, a un angle mesurant 90 degrés, appelé angle droit. Le côté le plus long de ce triangle est appelé hypoténuse, qui est situé à l'opposé de l'angle droit.
Comme nous le savons tous, un triangle peut avoir trois côtés, mais un carré en a quatre. Imaginez donc prendre l’hypoténuse d’un triangle rectangle et la transformer en l’une des quatre lignes d’un tout nouveau carré. Ensuite, faites la même chose avec les deux autres côtés du triangle d’origine. Vous vous retrouverez avec trois carrés individuels.
Selon le théorème de Pythagore, le carré formé par l’hypoténuse a une aire égale à la somme des aires des carrés formés par les deux autres côtés. Si l'hypoténuse est étiquetée « c » et que les deux autres côtés sont étiquetés « a » et « b », alors nous pourrions exprimer cette idée comme ceci :
Le premier point et le deuxième point de votre graphique auront chacun une coordonnée x et une coordonnée y. Vous pouvez calculer la distance la plus courte entre ces deux points en utilisant la formule de distance euclidienne, qui est une expression algébrique liée au théorème de Pythagore.
D =√(x₂ - x₁) ² + (y₂ - y₁)²Ici, D signifie « distance ». Quant à x₂ et x₁, ils font référence aux coordonnées x du point 2 et du point 1, respectivement. Il en va de même pour y₂ et y₁, sauf que ce sont les deux coordonnées y.
Ainsi, pour calculer la distance, notre première étape consiste à soustraire x₁ de x₂. Ensuite, nous devons multiplier le nombre obtenu par lui-même (ou, en d'autres termes, "carrer" ce nombre).
Après cela, nous devons soustraire y₁ de y₂, puis mettre au carré la réponse que nous obtenons en procédant ainsi. Cela nous laissera deux nombres que nous devons additionner.
Puis enfin, prenez ce nombre et trouvez sa racine carrée. Et cette racine carrée , mesdames et messieurs, est notre distance.
OK, disons que le point A a une coordonnée x de 2 et une coordonnée y de 5 (2,5). Supposons également que le point B a une coordonnée x de 9 et une coordonnée y de 13 (9,13). Insérez ces valeurs dans la formule pratique et vous obtenez ceci :
D =√(9-2)² + (13-5)²Combien font 9 moins 2 ? Facile, 7. Et 13 moins 5 fait 8, bien sûr.
Il nous reste maintenant ceci :
D =√7² + 8²Si vous mettez 7 au carré — comme dans, multipliez le nombre par lui-même — vous obtenez 49. Quant à 8 au carré, cela équivaut à 64. Insérons ces valeurs dans l'équation, hein ?
D =√49 + 64Maintenant, nous cuisinons. Ajoutez 49 et 64 et vous obtenez 113.
D =√113Quelle est la racine carrée de 113 ? La réponse est 10,63, donc :
D =10,63Allez-y et réussissez votre prochain quiz pop !
Cet article a été mis à jour en collaboration avec la technologie de l'IA, puis vérifié et édité par un éditeur HowStuffWorks.
Maintenant, c'est intéressantPythagore était végétarien. Comme l'écrit Tristam Stuart dans son livre de 2008, « La révolution sans effusion de sang :une histoire culturelle du végétarisme :de 1600 aux temps modernes », l'ancien philosophe grec souscrivait à « l'idée selon laquelle tous les êtres vivants sont apparentés, et le corollaire selon lequel c'était faux ». causer de la souffrance aux animaux."
