Lorsque vous entendez les mots « rationnel » et « irrationnel », ils pourraient vous rappeler Spock, implacablement analytique, dans « Star Trek ». Cependant, si vous êtes mathématicien, vous pensez probablement aux rapports entre les nombres entiers et les racines carrées.
Dans le domaine des mathématiques, où les mots ont parfois des significations spécifiques très différentes de l'usage quotidien, la différence entre les nombres rationnels et irrationnels cela n'a rien à voir avec les émotions. Puisqu'il existe une infinité de nombres irrationnels, vous feriez bien d'en acquérir une compréhension de base.
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"En vous souvenant de la différence entre les nombres rationnels et irrationnels, pensez à un mot :ratio", explique Eric D. Kolaczyk. Il est professeur au département de mathématiques et de statistiques de l'Université de Boston et directeur de l'Institut Rafik B. Hariri pour l'informatique, les sciences et l'ingénierie computationnelles.
"Si vous pouvez écrire un nombre comme un rapport de deux nombres entiers (par exemple, 1 sur 10, -5 sur 23, 1 543 sur 10, etc.), alors nous le plaçons dans la catégorie des nombres rationnels", explique Kolaczyk dans un e-mail. "Sinon, nous disons que c'est irrationnel."
Vous pouvez exprimer soit un nombre entier, soit une fraction (parties de nombres entiers) sous forme de rapport, en utilisant un entier appelé numérateur au-dessus d'un autre entier appelé dénominateur. Vous divisez le dénominateur en numérateur. Cela peut vous donner un nombre tel que 1/4 ou 500/10 (autrement appelé 50).
Les nombres irrationnels, contrairement aux nombres rationnels, sont assez compliqués. Comme l'explique Wolfram MathWorld, ils ne peuvent pas être exprimés par des fractions, et lorsque vous essayez de les écrire sous forme de nombres avec une virgule décimale, les chiffres continuent encore et encore, sans jamais s'arrêter ni répéter un motif.
Alors, quel genre de chiffres se comportent de manière aussi folle ? En gros, ceux qui décrivent des choses compliquées.
Le nombre irrationnel le plus célèbre est peut-être pi – parfois écrit π, la lettre grecque pour « p » – qui exprime le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Comme l'expliquait le mathématicien Steven Bogart dans cet article du Scientific American de 1999, ce rapport sera toujours égal à pi, quelle que soit la taille du cercle.
Depuis que les mathématiciens babyloniens ont tenté de calculer pi il y a près de 4 000 ans, des générations successives de mathématiciens ont continué à se brancher, créant des chaînes de plus en plus longues de développement décimal avec des modèles non répétitifs.
En 2019, la chercheuse de Google Emma Hakura Iwao a réussi à étendre pi à 31 415 926 535 897 chiffres.
Parfois, une racine carrée — c'est-à-dire un facteur d'un nombre qui, multiplié par lui-même, produit le nombre avec lequel vous avez commencé — est un nombre irrationnel, à moins qu'il ne s'agisse d'un carré parfait qui est un nombre entier, comme 4, le carré racine de 16.
L’un des exemples les plus frappants est la racine carrée de 2, qui équivaut à 1,414 plus une chaîne infinie de chiffres non répétitifs. Cette valeur correspond à la longueur de la diagonale d'un carré, telle que décrite pour la première fois par les anciens Grecs dans le théorème de Pythagore.
"Nous utilisons en effet généralement le terme" rationnel "pour signifier quelque chose qui se fonde davantage sur la raison ou quelque chose de similaire", explique Kolaczyk. « Son utilisation en mathématiques semble être apparue dès les années 1200 dans des sources britanniques (selon l'Oxford English Dictionary). Si vous faites remonter à la fois « rationnel » et « ratio » à leurs racines latines, vous constatez que dans les deux cas, le la racine concerne le « raisonnement », au sens large."
Ce qui est plus clair, c'est que les nombres irrationnels et rationnels ont joué un rôle important dans le progrès de la civilisation.
Même si le langage remonte probablement à l'origine de l'espèce humaine, les chiffres sont apparus bien plus tard, explique Mark Zegarelli, professeur de mathématiques et auteur qui a écrit 10 livres dans la série "Pour les nuls". Les chasseurs-cueilleurs, dit-il, n'avaient probablement pas besoin de beaucoup de précision numérique, autre que la capacité d'estimer et de comparer grossièrement les quantités.
"Ils avaient besoin de concepts tels que 'Nous n'avons plus de pommes'", explique Zegarelli. "Ils n'avaient pas besoin de savoir :'Nous avons exactement 152 pommes.'"
Mais à mesure que les humains commençaient à tailler des parcelles de terrain pour créer des fermes, ériger des villes et fabriquer et échanger des marchandises, en s'éloignant de chez eux, ils avaient besoin d'un calcul plus complexe.
"Supposons que vous construisiez une maison avec un toit dont la montée est de la même longueur que la longueur de la base à son point le plus élevé", explique Kolaczyk. "Quelle est la longueur de la surface du toit elle-même, du haut au bord extérieur ? Toujours un facteur de la racine carrée de 2 de la montée (course). Et c'est également un nombre irrationnel."
Dans un XXIe siècle technologiquement avancé, les nombres irrationnels continuent de jouer un rôle crucial, selon Carrie Manore. Elle est scientifique et mathématicienne au sein du groupe des systèmes d'information et de modélisation du laboratoire national de Los Alamos.
"Pi est un premier nombre irrationnel évident dont il faut parler", explique Manore par e-mail. "Nous en avons besoin pour déterminer l'aire et la circonférence des cercles. C'est essentiel pour calculer les angles, et les angles sont essentiels à la navigation, à la construction, à l'arpentage, à l'ingénierie et bien plus encore. La communication par radiofréquence dépend des sinus et des cosinus qui impliquent pi."
De plus, les nombres irrationnels jouent un rôle clé dans les mathématiques complexes qui rendent possibles les transactions boursières à haute fréquence, la modélisation, les prévisions et la plupart des analyses statistiques :autant d'activités qui font vivre notre société.
"En fait", ajoute Manore, "dans notre monde moderne, il est presque logique de se demander plutôt : « Où les nombres irrationnels ne sont-ils pas ? utilisé ?'"
Cet article a été mis à jour en collaboration avec la technologie de l'IA, puis vérifié et édité par un éditeur HowStuffWorks.
Maintenant, c'est intéressantEn informatique, "nous utilisons presque toujours des approximations de ces nombres irrationnels pour résoudre des problèmes", explique Manore. "Ces approximations sont rationnelles puisque les ordinateurs ne peuvent calculer qu'avec une certaine précision. Bien que le concept de nombres irrationnels soit omniprésent dans la science et l'ingénierie, on pourrait affirmer que nous n'utilisons en fait jamais de véritable nombre irrationnel dans la pratique."
