Si vous ne vous souvenez que vaguement de votre cours de mathématiques à l’école primaire, vous ne vous souvenez peut-être pas de ce qu’est un nombre premier. C'est dommage, car si vous essayez de protéger vos e-mails des pirates informatiques ou de surfer sur le Web en toute confidentialité sur un réseau privé virtuel (VPN), vous utilisez des nombres premiers sans même vous en rendre compte.
Les nombres premiers constituent un élément crucial du cryptage RSA, qui utilise les nombres premiers comme clés pour déverrouiller les messages cachés dans le charabia numérique. Les nombres premiers ont d’autres applications dans la vie, il est donc bon de les comprendre. Maintenant, revenons à votre question initiale :1 est-il un nombre premier et pourquoi les nombres premiers sont-ils importants ?
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Alors, que sont les nombres premiers, au fait ? Et comment les nombres premiers sont-ils devenus si importants dans le monde moderne ? Comme l'explique Wolfram MathWorld, un nombre premier – également appelé simplement premier – est un nombre positif supérieur à 1 qui ne peut être divisé que par un et par lui-même. Il doit être divisible par deux nombres. Avec cette définition des nombres premiers à l'esprit, le nombre 1 n'est pas un nombre premier.
Une bonne façon de s’en souvenir est de savoir qu’un nombre premier ne peut être divisé par aucun autre nombre naturel positif sans laisser de reste, décimal ou fraction. Prenons l'exemple du nombre premier 13. Il n'a que deux diviseurs :1 et 13. 13 ÷ 6 =2 avec un reste de 1. La division d'un nombre premier par tout autre nombre naturel entraîne des nombres restants.
Tout au long de l’histoire, les mathématiciens se sont penchés sur le concept de ce qui définit véritablement un nombre premier. Le statut du nombre 1 était au cœur de ce débat. Au 19ème siècle, il y avait un débat sur la question de savoir si 1 était un nombre premier ou non.
Autrefois, les gens croyaient que 1 était premier. Le fondement de cette croyance reposait sur l’idée qu’un nombre premier est défini par la présence de seulement deux diviseurs entiers positifs :un et lui-même. Par conséquent, le seul nombre entier qui posait un défi lors de la catégorisation était 1, car, selon cette définition de base, il répondait aux critères.
Cependant, à mesure que les mathématiques ont évolué, cette perspective a évolué. Pour rendre les théories des nombres et les théorèmes qui en résultent plus cohérents, les mathématiciens ont revisité les critères permettant d'identifier un nombre comme premier. Le concept de nombres premiers nécessitait une distinction entre les nombres premiers et composés.
Par la définition selon laquelle un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs distincts, le nombre 1 ne correspondait pas puisqu'il n'a qu'un seul diviseur positif distinct :1. Par conséquent, la catégorisation a changé, ne considérant plus 1 premier.
Ce changement garantit que chaque entier positif supérieur à 1 est classé comme premier ou composite. Cela a contribué à clarifier les théories et théorèmes mathématiques, en éliminant les ambiguïtés potentielles. Si le débat a été largement réglé avec le consensus selon lequel 1 n'est pas un nombre premier, le débat historique souligne la nature évolutive des définitions mathématiques et la quête constante de précision dans la discipline.
"Le seul nombre premier pair est 2", explique Debi Mink, professeure agrégée d'éducation à la retraite à l'Université d'Indiana Sud-Est, dont l'expertise comprend l'enseignement des mathématiques élémentaires. "Tous les autres nombres premiers sont des nombres impairs." C'est parce qu'ils ont plus de deux facteurs. Alors, jetons un coup d'œil à cela.
Tous les nombres pairs sont des nombres composés. 2 est le seul nombre premier pair car il n'a pas plus de deux facteurs — ses seuls facteurs sont 1 et le nombre 2 lui-même. Pour qu’un nombre soit classé comme nombre premier, il doit avoir exactement deux facteurs. Puisque 2 a exactement deux facteurs, 1 et le nombre lui-même, 2, c'est un nombre premier.
Les nombres comme 2, 3, 5, 7, 11, 13 et 17 sont tous considérés comme des nombres premiers car ils ont exactement deux facteurs, 1 et le nombre lui-même. Les nombres comme 4, 6, 8, 9, 10 et 12 ne sont pas des nombres premiers car ils ont plus de deux facteurs.
Les nombres composés sont l'opposé des nombres premiers. Ils peuvent être divisés par d'autres nombres que 1 et eux-mêmes.
Mark Zegarelli, auteur de nombreux livres sur les mathématiques dans la série populaire "Pour les Nuls" et qui enseigne également des cours de préparation aux examens, propose une illustration impliquant des pièces de monnaie qu'il utilise avec certains de ses élèves pour expliquer la différence entre les nombres premiers et les nombres composés.
"Pensez au chiffre 6", dit Zegarelli, citant un nombre composite. "Imaginez que vous avez six pièces. Vous pouvez les former en rectangle, avec deux rangées de trois pièces. Vous pouvez également le faire avec huit, en plaçant quatre pièces sur deux rangées. Avec le nombre 12, vous pourriez en faire un rectangle. plus d'un type de rectangle — vous pourriez avoir deux rangées de six pièces, ou trois fois quatre. "
"Mais si vous prenez le chiffre 5, peu importe comment vous essayez, vous ne pouvez pas le mettre dans un rectangle", note Zegarelli. "Le mieux que vous puissiez faire est de l'enchaîner en une ligne, une seule rangée de cinq pièces. Ainsi, vous pourriez appeler 5 un nombre non rectangulaire. Mais la façon la plus simple de le dire est de l'appeler un nombre premier." /P>
Il existe de nombreux autres nombres premiers :2, 3, 7 et 11 sont également sur la liste, et cela continue à partir de là. Le mathématicien grec Euclide, vers 300 avant notre ère, a conçu une preuve de l'infinitude des nombres premiers, qui pourrait avoir été la première preuve mathématique montrant qu'il existe un nombre infini de nombres premiers. (Dans la Grèce antique, où le concept moderne d'infini n'était pas bien compris, Euclide décrivait simplement la quantité de nombres premiers comme « plus que n'importe quelle multitude assignée de nombres premiers ».)
Une autre façon de comprendre les nombres premiers et les nombres composites est de les considérer comme le produit de facteurs, explique Zegarelli. "2 fois 3 est égal à 6, donc 2 et 3 sont des facteurs de 6. Il y a donc deux façons de faire six :1 fois 6 et 2 fois 3. J'aime les considérer comme des paires de facteurs. Donc, avec un composite nombre, vous avez plusieurs paires de facteurs, alors qu'avec un nombre premier, vous n'avez qu'une seule paire de facteurs, une fois le nombre lui-même."
Prouver que la liste des nombres premiers est infinie n'est pas si difficile, dit Zegarelli. "Imaginez qu'il existe un dernier et plus grand nombre premier. Nous allons l'appeler P. Alors je prendrai tous les nombres premiers jusqu'à P et je les multiplierai tous ensemble. Si je fais cela et j'en ajoute un au produit , ce nombre doit être premier."
En revanche, si un nombre est un nombre composé, il est toujours divisible par une certaine quantité de nombres premiers inférieurs. "Un composite peut également être divisible par d'autres composites, mais vous pouvez éventuellement le décomposer en un ensemble de nombres premiers." (Un exemple :le nombre 48 a exactement deux facteurs, 6 et 8, mais vous pouvez le décomposer en plus de deux facteurs :2 fois 3 fois 2 fois 2 fois 2.)
Le tamis d'Ératosthène est une méthode introduite par le mathématicien grec Ératosthène au troisième siècle avant notre ère, utilisée pour trouver les nombres premiers et les nombres composés parmi un groupe de nombres.
Le Tamis d'Ératosthène repose sur l'idée que les multiples d'un nombre premier ne sont pas eux-mêmes premiers. Ainsi, lors de la recherche de nombres premiers, tous les multiples de chaque nombre premier peuvent être barrés. Cela élimine de nombreux nombres qui autrement auraient été essayés sans raison, de sorte que le Tamis d'Ératosthène peut faire gagner beaucoup de temps.
Il n'y a que 25 nombres premiers entre les nombres 1 et 100 :
Alors pourquoi les nombres premiers exercent-ils une telle fascination parmi les mathématiciens depuis des milliers d’années ? Comme l'explique Zegarelli, de nombreuses mathématiques supérieures sont basées sur les nombres premiers. Mais il existe également la cryptographie, dans laquelle les nombres premiers ont une importance cruciale car les très grands nombres possèdent une caractéristique particulièrement précieuse. Il n'existe pas de moyen simple et rapide de savoir s'il s'agit de nombres premiers ou de nombres composés, dit-il.
La difficulté de discerner entre d'énormes nombres premiers et d'énormes nombres composés permet à un cryptographe de proposer d'énormes nombres composés qui sont des facteurs de deux très grands nombres premiers, composés de centaines de chiffres.
"Imaginez que la serrure de votre porte soit un numéro à 400 chiffres", explique Zegarelli. "La clé est l'un des numéros à 200 chiffres qui ont été utilisés pour créer ce numéro à 400 chiffres. Si j'ai l'un de ces éléments en poche, j'ai la clé de la maison. Mais si vous ne l'avez pas, j'ai la clé de la maison. Sans ces facteurs, c'est sacrément difficile d'y entrer."
C'est pourquoi les mathématiciens ont continué à travailler pour trouver des nombres premiers de plus en plus grands, dans le cadre d'un projet en cours appelé Great Internet Mersenne Prime Search. En 2018, ce projet a conduit à la découverte d’un nombre premier composé de 23 249 425 chiffres, soit suffisamment pour remplir 9 000 pages de livre. Il a fallu 14 ans de calculs pour arriver à ce gigantesque nombre premier.
Vous pouvez imaginer à quel point Euclide a pu être impressionné par cela.
Cet article a été mis à jour en collaboration avec la technologie de l'IA, puis vérifié et édité par un éditeur HowStuffWorks.
Maintenant c'est coolBien que beaucoup pensent que les nombres premiers sont aléatoires, dans un article de 2016, deux mathématiciens de l'Université de Stanford ont décrit un modèle apparent jusqu'alors inconnu, dans lequel les nombres premiers avaient tendance à être suivis par d'autres nombres premiers se terminant par certains chiffres, comme le détaille cet article de Wired. Par exemple, parmi le premier milliard de nombres premiers, un nombre premier se terminant par 9 a environ 65 % plus de chances d'être suivi par un nombre premier se terminant par un qu'il ne l'est par un nombre premier se terminant par neuf.
