Vous avez probablement une idée intuitive de ce qu'est un cercle :la forme d'un panier de basket, d'une roue ou d'un quart. Vous vous souvenez peut-être même du lycée que le rayon est toute ligne droite qui part du centre du cercle et se termine à son périmètre.
Un cercle unité est juste un cercle qui a un rayon d'une longueur de 1. Mais souvent, il est accompagné d'autres cloches et sifflets.
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Un cercle unitaire définit des relations triangulaires rectangles appelées sinus, cosinus et tangente. Ces relations décrivent les relations entre les angles et les côtés des triangles rectangles.
Supposons, par exemple, que nous ayons un triangle rectangle avec un angle de 30 degrés et dont le côté le plus long, ou hypoténuse, a une longueur de 7. Nous pouvons utiliser nos relations de triangle rectangle prédéfinies pour déterminer la longueur des côtés des deux autres triangles du triangle. côtés.
Cette branche des mathématiques, connue sous le nom de trigonométrie, a des applications pratiques quotidiennes telles que la construction, le GPS, la plomberie, les jeux vidéo, l'ingénierie, la menuiserie et la navigation aérienne.
Pour mémoriser un cercle unité standard, nous devons être capables de rappeler trois composants majeurs :
Pour nous aider, nous allons rappeler un voyage à l'Unit Pizza Palace. Prenez quelques instants pour mémoriser ce qui suit jusqu'à ce que vous puissiez le réciter sans regarder :
Imaginez une pizza entière, coupée en quatre tranches égales. En mathématiques, nous appellerions ces quatre parties du cercle des quadrants.
Nous pouvons utiliser les coordonnées (x, y) pour décrire n’importe quel point le long du bord extérieur du cercle. La valeur x ou coordonnée x représente la distance parcourue à gauche ou à droite depuis le centre, tandis que la valeur y ou coordonnée y représente la distance parcourue vers le haut ou vers le bas.
La coordonnée x est le cosinus de l'angle formé par le point, l'origine et l'axe des x. La coordonnée y correspond à la valeur exacte de la fonction sinusoïdale pour cet angle.
Dans un cercle unité, une ligne droite partant du centre du cercle atteindra le bord du cercle à la coordonnée (1, 0). Voici les coordonnées si la ligne allait dans les autres directions :
Les quatre angles associés (en radians et non en degrés) ont tous un dénominateur de 2. (Un radian est l'angle formé en prenant le rayon et en l'enroulant autour d'un cercle. Un degré mesure les angles en fonction de la distance parcourue. Un cercle mesure 360 degrés ou 2π radians).
Les numérateurs commencent à 0, en commençant à la coordonnée (1,0), et comptent dans le sens inverse des aiguilles d'une montre de 1π. Ce processus donnera 0π/2, 1π/2, 2π/2 et 3π/2. Simplifiez ces fractions pour obtenir 0, π/2, π et 3π/2.
Commencez par « 3 tartes ». Jetez un œil à l’axe y. Les angles en radians directement à droite et à gauche de l'axe y ont tous un dénominateur de 3. Chaque angle restant a un numérateur qui inclut la valeur mathématique pi, écrite sous la forme π.
"3 tartes pour 6" est utilisé pour rappeler les 12 angles restants dans un cercle unitaire standard, avec trois angles dans chaque quadrant. Chacun de ces angles s'écrit sous forme de fraction.
Le "pour 6$" est pour nous rappeler que dans chaque quadrant, les dénominateurs restants sont 4 puis 6.
La partie la plus délicate de cette étape consiste à compléter le numérateur de chaque fraction.
Dans le quadrant 2 (quart supérieur gauche du cercle), mettez 2, puis 3, puis 5 devant π.
Votre premier angle dans le quadrant 2 sera de 2π/3. Ceci se calcule facilement en additionnant le 2 au numérateur et le 3 au dénominateur, ce qui équivaut à 5.
Regardez l'angle droit dans le quadrant 4 (quart inférieur droit du cercle). Placez ce 5 au numérateur devant π. Répétez ce processus pour les deux autres angles des quadrants 2 et 4.
Nous répéterons le même processus pour les quadrants 1 (en haut à droite) et 3 (en bas à gauche). N'oubliez pas que tout comme x est identique à 1x, π est identique à 1π. Nous ajoutons donc 1 à tous les dénominateurs du quadrant 1.
Le processus de liste des angles en degrés (au lieu de radians) est décrit à la fin de cet article.
Le "2" dans "2 tableaux carrés" nous rappelle que les 12 paires de coordonnées restantes ont un dénominateur de 2.
"Carré" nous rappelle que le numérateur de chaque coordonnée comprend une racine carrée. Nous commençons seulement par le quadrant 1 pour simplifier les choses. (Indice :n'oubliez pas que la racine carrée de 1 est 1, ces fractions peuvent donc être simplifiées à seulement 1/2.)
Le "1, 2, 3" nous montre la succession des nombres sous chaque racine carrée. Pour les coordonnées x du quadrant 1, nous comptons de 1 à 3, en commençant par la coordonnée supérieure et en descendant.
Les coordonnées y ont les mêmes numérateurs, mais comptent de 1 à 3 dans le sens opposé, de bas en haut.
Le quadrant 2 a les mêmes coordonnées que le quadrant 1, mais les coordonnées x sont négatives.
Le quadrant 3 change les coordonnées x et y du quadrant 1. Toutes les coordonnées x et y sont également négatives.
Comme le quadrant 3, le quadrant 4 permute également les coordonnées x et y du quadrant 1. Mais seules les coordonnées y sont négatives.
Vous souhaiterez peut-être référencer les angles en degrés plutôt qu'en radians. Pour ce faire, commencez à 0 degré à la coordonnée (1,0). À partir de là, nous ajouterons 30, 15, 15 puis 30. Dans le quadrant 1, nous ajoutons 30 à 0 pour obtenir 30, ajoutons 15 à 30 pour obtenir 45, ajoutons 15 à 45 pour obtenir 60 et ajoutons 30 à 60 pour obtenir 90.
Nous répétons ensuite le processus pour les quadrants restants, en ajoutant 30, 15, 15 et 30 jusqu'à atteindre la fin du cercle. Le quadrant 4 aura donc des angles allant de 270 à 330 degrés (voir figure 10).
N'oubliez pas que le cercle unité peut être utilisé pour trouver deux côtés inconnus d'un triangle rectangle faisant un angle de 30 degrés et dont le côté le plus long, ou hypoténuse, a une longueur de 7. Essayons.
Notez où se trouve 30° sur le cercle unité. Utilisez cette ligne et l'axe des x pour créer un triangle comme suit.
Dans un cercle unité, toute ligne qui commence au centre du cercle et se termine à son périmètre aura une longueur de 1. Ainsi, le côté le plus long de ce triangle aura une longueur de 1. Le côté le plus long d'un triangle rectangle est également connue sous le nom d'hypoténuse. Le point où l'hypoténuse touche le périmètre du cercle est à √3/2, 1/2.
Nous savons donc que la base du triangle (sur l'axe des x) a une longueur de √3/2 et la hauteur du triangle est de 1/2.
Une autre façon d'y penser est que la base est √3/2 fois la longueur de l'hypoténuse et la hauteur est 1/2 fois la longueur de l'hypoténuse.
Donc, si au contraire l'hypoténuse a une longueur de 7, la base de notre triangle sera 7 x √3/2 =7√3/2.
Le triangle aura une hauteur de 7 x 1/2 =7/2.
Cet article a été mis à jour en collaboration avec la technologie de l'IA, puis vérifié et édité par un éditeur HowStuffWorks.
Maintenant, c'est intéressantOn pense que la trigonométrie a été développée au 1er siècle avant notre ère. comprendre l'astronomie, l'étude des étoiles et du système solaire. Il est toujours utilisé dans l'exploration spatiale par des sociétés comme la NASA et des sociétés privées de transport spatial.
