Mentionnez le mot « turbulence » et vous pourriez évoquer des images de vols cahoteux, de temps orageux et de courants océaniques ou fluviaux agités. Pour beaucoup, la turbulence est un fait de la vie quotidienne, mais c'est aussi l'un des phénomènes physiques les plus mal compris. En particulier, le point auquel le mouvement d'un fluide passe d'un écoulement régulier et prévisible (appelé "laminaire") à un écoulement aléatoire et imprévisible (appelé "turbulence") - la transition dite laminaire-turbulente - continue de déconcerter les scientifiques depuis Osborne. Reynolds l'a d'abord étudié expérimentalement dans des tuyaux en 1883.

Maintenant, une équipe de scientifiques basée à l'Université de l'Illinois à Urbana-Champaign, à l'Université de Californie à San Diego et à l'Academia Sinica à Taïwan a montré comment tenir compte des modèles aléatoires et de la dynamique de la turbulence dans les conduites en régime de transition. Leur travail utilise de nouvelles idées qui proviennent de domaines aussi disparates que la mécanique statistique et l'écologie et s'appuie sur les preuves croissantes que la transition laminaire-turbulente a des propriétés statistiques qui peuvent être mieux pensées en termes de théorie des transitions de phase hors équilibre.

L'équipe comprend Xueying Wang, étudiant diplômé en physique de l'UIUC, Hong-Yan Shih, chercheur à l'Academia Sinica, et Nigel Goldenfeld, titulaire de la chaire émérite de physique et chercheur de l'UIUC Swanlund. Goldenfeld est actuellement professeur émérite de physique des chanceliers à l'Université de Californie à San Diego.

Les auteurs ont publié leurs résultats le 11 juillet 2022 dans la revue Physical Review Letters .

Les bouffées et les limaces sont des caractéristiques de la turbulence de transition

Reynolds a découvert que dans les tuyaux, la transition laminaire-turbulente se produit de manière inégale à mesure que la vitesse d'écoulement augmente. Des gouttes de fluide turbulent, connues aujourd'hui sous le nom de "bouffées", apparaissent près de la transition laminaire-turbulente et sont séparées par des régions d'écoulement laminaire. Les manières précises dont les bouffées apparaissent et se déplacent ou même se divisent en deux dépendent de la géométrie de l'espace parcouru par un fluide. Ces phénomènes complexes contribuent à la réputation bien méritée de la turbulence comme l'un des derniers problèmes en suspens de la physique classique. À des vitesses encore plus élevées, les zones turbulentes se développent plutôt que de simplement se déplacer ou se diviser :ces régions croissantes de turbulence sont appelées "slugs".

Pour construire une image plus claire de la transition vers la turbulence, les chercheurs ont développé un nouveau modèle minimal pour comprendre les bouffées et les limaces en utilisant des méthodes importées de la biologie théorique des populations. Les chercheurs ont découvert qu'ils pouvaient représenter le flux d'énergie du fluide près de la transition laminaire-turbulente en termes de flux d'énergie qui se produit dans un écosystème prédateur-proie, dans lequel les nutriments sont l'énergie du flux de fond, le prédateur est une certaine structure de flux qui inhibe la turbulence, et la turbulence est la proie. Ce modèle écologique récapitule le comportement turbulent dans les conduites et l'écoulement de Taylor-Couette, un type d'écoulement rotationnel, un objectif que les modèles précédents n'ont pas atteint.

Goldenfeld dit:"Il y a six ans, une percée a été faite avec des preuves théoriques et expérimentales convergeant vers une description des bouffées turbulentes émergeant d'un écoulement laminaire, en termes de théorie de la transition de phase. Cependant, ce travail a laissé ouverte la question de ce qui se passe à un écoulement plus élevé. s'éloigne du point de basculement lui-même.

"Notre nouveau travail montre que le même cadre conceptuel et les mêmes méthodes s'appliquent également au régime des limaces et récapitulent avec des détails remarquables les résultats expérimentaux. Il est fantastique de voir des concepts de la théorie des transitions de phase et de l'écologie se réunir dans le problème complètement différent de la mécanique des fluides. "

Les limaces elles-mêmes présentent des comportements intéressants et se présentent sous deux formes, les limaces faibles et les limaces fortes, toutes deux caractérisées par au moins un "front", une région contenant une frontière entre les fluides laminaires et turbulents.

L'auteur principal Wang explique :"Le front d'une limace est comme un front météorologique. D'un côté du front se trouve un fluide laminaire. De l'autre côté, il y a de la turbulence. Le front est comme une limite de phase, et il se déplace dans l'espace à une Dans les conduites, on obtient aussi bien des slugs que des bouffées. Mais les slugs faibles à faible vitesse de fluide n'ont qu'un seul front en amont, alors que les slugs forts à vitesse plus élevée ont des fronts à la fois vers l'amont et vers l'aval. Ces facteurs et la richesse des phénomènes transitoires font que comprendre la turbulence transitionnelle très difficile. Notre travail fournit un cadre unifié qui gère tous ces régimes, différentes géométries d'écoulement et le caractère aléatoire inhérent."

Les modèles prédateur-proie et la turbulence convergent

Les chercheurs ont pu tirer parti d'un lien surprenant qu'ils avaient trouvé dans des travaux antérieurs entre la biologie des populations et la turbulence transitionnelle.

La modélisation de la façon dont les prédateurs interagissent avec leurs proies est un thème populaire en biologie des populations. L'idée de base est simple :les prédateurs se reproduisent et mangent des proies, réduisant leur population; les proies se reproduisent également, reconstituant leur nombre et fournissant de la nourriture aux prédateurs. Puis le cycle se répète. En termes simples, les prédateurs inhibent les proies, tandis que les proies renforcent les prédateurs. Les scientifiques peuvent déduire beaucoup d'informations de ces modèles, comme la façon dont les populations de prédateurs et de proies varient au fil du temps, ainsi que le temps qu'il faut pour que chacun meure en raison, par exemple, d'un manque de nourriture ou d'une surprédation.

Dans une étude antérieure, Shih et Goldenfeld, travaillant avec l'ancien étudiant de premier cycle Tsung-Lin Hsieh (maintenant boursier postdoctoral à l'Université de Princeton), ont montré qu'il existe une analogie entre les modèles prédateur-proie et la turbulence qui peut être exprimée en termes mathématiques. Lorsqu'un fluide s'écoule dans un tuyau, deux types de mouvement de fluide sont générés. Le premier type est un modèle de vortex tourbillonnant autour de l'axe du tuyau, appelé "flux zonal". Le deuxième type est la turbulence le long de l'axe du tuyau. Les auteurs ont découvert que la turbulence s'accumule régulièrement et active le flux zonal, qui supprime ensuite la turbulence. En d'autres termes, le flux zonal correspond aux prédateurs et la turbulence correspond aux proies.

Les chercheurs ont découvert que la distribution de probabilité de la durée de vie de la turbulence de transition correspondait précisément à celle des prédateurs et des proies dans un écosystème, un lien étonnant étant donné que la biologie des populations et la dynamique des fluides sont des domaines apparemment disparates.

Hong-Yan Shih comments, "This connection helps us understand the complex transitional behavior of turbulence from the point of view of phase transitions in statistical mechanics. Specifically, this discovery provides the key ingredients to construct an effective theory, which leads to the prediction that the laminar-turbulent transition in fluids is a non-equilibrium phase transition in the directed percolation universality class.

"Directed percolation can be thought of as the familiar process that happens when water drips through coffee grounds in a percolator. If the grounds are too tightly packed, water can't get through. On the other hand, if the grounds are too loosely packed, water can get through but the coffee is undrinkable. There's a critical point where the water just manages to get through and takes long enough so that the coffee tastes good.

"Mathematically, that phenomenon is exactly what happens in the transition to turbulence and the transition of a functioning ecosystem. The mathematics of phase transitions, founded in the Nobel Prize–winning work of K. Wilson, explains how this remarkable phenomenon arises."

This prior work, however, looked at the turbulence of a single puff. Real life isn't as simple, and real fluids near the laminar-turbulent transition contain multiple puffs that grow, die out, and interact in complex ways as the flow speed increases. The researchers needed to extend their model to capture more complicated dynamics beyond those of a single puff.

Extending the predator-prey model by incorporating nutrients

To capture the complex dynamics found in experiments beyond the critical point in the current study, the authors decided to take into account energy balance in pipe flow.

Wang explains, "Turbulence is a dissipative structure that needs constant energy input to be sustained, and that energy comes from the laminar flow. This fact was previously shown by exact computer simulations of the fluid equations, but did not allow us to understand in a predictive way the phenomena that would emerge."

The researchers realized that, just like zonal flow and turbulence require energy to persist, predators and prey need nutrients from their environment to survive.

"We wanted to make a minimal model of the full energy balance to extend the previous work and capture energy extraction of turbulence from laminar mean flow," Wang adds. "So we introduced another component into the 'ecosystem':nutrients, which represent the kinetic energy of the mean flow."

The researchers numerically simulated the extended predator-prey model on a two-dimensional lattice having a length much larger than its width. They watched what happens when nutrients—that is, laminar state energy, from the fluid dynamics perspective—flow into the ecosystem, are consumed by the turbulence, and are restored downstream of the turbulence.

The model maps several pathways for energy and population dynamics. The first pathway takes input energy from the energy budget to turbulent energy, like prey extracting nutrients from their environment. A second pathway takes turbulent energy to zonal flow energy, like predators eating prey.

Once they established these predator-prey-inspired pathways, they sat back and watched computer simulations based on the new model, wherein energy entered the pipe and passed through the pathways randomly. Out of the randomness emerged features of transitional turbulence such as puffs, slugs, and their associated fronts, reproducing results seen in experiments. The simulations showed that the appearance of puffs or slugs—and whether slugs are of the weak or strong type—is determined by the input energy (or equivalently, the speed) of the fluid flow.

The researchers then successfully reproduced all the transitional phenomena observed in pipe flow experiments and explained the underlying physics of puff splitting and growth. Specifically, they found that puff splitting and interaction is highly probabilistic. As the fluid speed increases, the probability of puff splitting also increases. The puff-slug transition is gradual, and it occurs when puffs split so frequently that they start to fill up the system densely.

Rotational flow and new questions for turbulence

In addition to pipe flow, the researchers also simulated a special type of rotational flow known as Taylor-Couette flow in which a fluid moves in the space between two concentric cylinders and the outer cylinder rotates relative to the inner one. Unlike pipe flow, where the energy enters from the high-pressure end of the pipe, Taylor-Couette flow is sustained by shear, the stress that occurs when two boundaries move parallel to one another. The new model easily incorporated this difference and reproduced the patterns of transitional turbulence seen in experiments, demonstrating the flexibility of the model.

"We showed that the rich and complicated dynamical features in transitional pipe flow can be understood with a simple three-level stochastic predator-prey model based on energy balance in pipe flow," says Wang. "Our model also works for quasi-one-dimensional Taylor-Couette flow. Since energy balance generally holds in fluid systems, we expect our model to be applicable to systems with more complicated geometries as well."

Having described turbulence broadly by implementing their model in two different geometries, the team is already looking to answer new questions.

Goldenfeld says, "The next challenge is to see if and how our probabilistic model can be extended to two- or three-dimensional flows. This problem has been intensely studied for well over twenty years, with new experimental data starting to appear."

For his part, Goldenfeld is pleased to see diverse techniques converge to solve problems in complementary ways, a beautiful demonstration of how different fields of science can inform each other.

Goldenfeld summarizes, "Our results show how stochastic dynamics, pattern formation, phase transitions, and modeling concepts from diverse fields such as ecology can bring new tools, predictions, and insights into a problem previously considered within the more narrow disciplinary focus of fluid dynamics. It is exciting to see how successful minimal modeling is at capturing complex physical phenomena in a quantitative way." + Explorer plus loin

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