En voile, escalade, construction, et toute activité nécessitant l'arrimage des cordages, certains nœuds sont connus pour être plus forts que d'autres. Tout marin aguerri sait, par exemple, qu'un type de nœud fixera une écoute à une voile d'avant, tandis qu'un autre est meilleur pour attacher un bateau à un pilotis.

Mais ce qui rend exactement un nœud plus stable qu'un autre n'a pas été bien compris, jusqu'à maintenant.

Les mathématiciens et ingénieurs du MIT ont développé un modèle mathématique qui prédit la stabilité d'un nœud, basé sur plusieurs propriétés clés, y compris le nombre de croisements impliqués et la direction dans laquelle les segments de corde se tordent lorsque le nœud est tendu.

"Ces différences subtiles entre les nœuds déterminent de manière critique si un nœud est fort ou non, " dit Jörn Dunkel, professeur agrégé de mathématiques au MIT. "Avec ce modèle, vous devriez pouvoir regarder deux nœuds qui sont presque identiques, et pouvoir dire lequel est le meilleur."

"La connaissance empirique affinée au fil des siècles a cristallisé quels sont les meilleurs nœuds, " ajoute Mathias Kolle, le Rockwell International Career Development Associate Professor au MIT. "Et maintenant, le modèle montre pourquoi."

Dunkel, Kollé, et Ph.D. les étudiants Vishal Patil et Joseph Sandt ont publié aujourd'hui leurs résultats dans la revue Science .

Couleur de la pression

En 2018, Le groupe Kolle a conçu des fibres extensibles qui changent de couleur en réponse à la tension ou à la pression. Les chercheurs ont montré que lorsqu'ils tiraient sur une fibre, sa teinte est passée d'une couleur de l'arc-en-ciel à une autre, en particulier dans les zones qui ont subi le plus de stress ou de pression.

Kollé, professeur agrégé de génie mécanique, a été invité par le département de mathématiques du MIT à donner une conférence sur les fibres. Dunkel était dans le public et a commencé à concocter une idée :et si les fibres de détection de pression pouvaient être utilisées pour étudier la stabilité dans les nœuds ?

Les mathématiciens ont longtemps été intrigués par les nœuds, à tel point que les nœuds physiques ont inspiré tout un sous-domaine de la topologie connu sous le nom de théorie des nœuds - l'étude des nœuds théoriques dont les extrémités, contrairement aux nœuds réels, sont joints pour former un motif continu. Dans la théorie des nœuds, les mathématiciens cherchent à décrire un nœud en termes mathématiques, ainsi que toutes les manières dont il peut être tordu ou déformé tout en conservant sa topologie, ou géométrie générale.

« Dans la théorie mathématique des nœuds, vous jetez tout ce qui est lié à la mécanique, " Dit Dunkel. " Vous ne vous souciez pas de savoir si vous avez une fibre rigide ou molle - c'est le même nœud du point de vue d'un mathématicien. Mais nous voulions voir si nous pouvions ajouter quelque chose à la modélisation mathématique des nœuds qui rende compte de leurs propriétés mécaniques, pouvoir dire pourquoi un nœud est plus fort qu'un autre."

Physique des spaghettis

Dunkel et Kolle se sont associés pour identifier ce qui détermine la stabilité d'un nœud. L'équipe a d'abord utilisé les fibres de Kolle pour nouer une variété de nœuds, y compris le trèfle et les nœuds en huit, configurations familières à Kolle, qui est un passionné de voile, et aux membres d'escalade du groupe de Dunkel. Ils ont photographié chaque fibre, noter où et quand la fibre a changé de couleur, ainsi que la force qui a été appliquée à la fibre lorsqu'elle a été tendue.

Les chercheurs ont utilisé les données de ces expériences pour calibrer un modèle que le groupe de Dunkel avait précédemment mis en œuvre pour décrire un autre type de fibre :les spaghettis. Dans ce modèle, Patil et Dunkel ont décrit le comportement des spaghettis et autres flexibles, structures en forme de corde en traitant chaque brin comme une chaîne de petits, discret, perles à ressort. La façon dont chaque ressort se plie et se déforme peut être calculée en fonction de la force appliquée à chaque ressort individuel.

L'étudiant de Kolle, Joseph Sandt, avait précédemment établi une carte de couleurs basée sur des expériences avec les fibres, qui corrèle la couleur d'une fibre avec une pression donnée appliquée à cette fibre. Patil et Dunkel ont incorporé cette carte de couleurs dans leur modèle de spaghetti, puis utilisé le modèle pour simuler les mêmes nœuds que les chercheurs avaient noués physiquement à l'aide des fibres. Lorsqu'ils ont comparé les nœuds des expériences avec ceux des simulations, ils ont découvert que le motif des couleurs dans les deux était pratiquement le même, signe que le modèle simulait avec précision la répartition des contraintes dans les nœuds.

Avec confiance en leur modèle, Patil a ensuite simulé des nœuds plus compliqués, en notant quels nœuds ont subi plus de pression et étaient donc plus forts que les autres nœuds. Une fois qu'ils ont classé les nœuds en fonction de leur force relative, Patil et Dunkel ont cherché une explication pour laquelle certains nœuds étaient plus forts que d'autres. Pour faire ça, ils ont dessiné des schémas simples pour la grand-mère bien connue, récif, voleur, et nœuds de chagrin, avec les plus compliqués, comme le carrick, Zeppelin, et papillon alpin.

Chaque diagramme de nœud représente le motif des deux brins d'un nœud avant qu'il ne soit tendu. Les chercheurs ont inclus la direction de chaque segment d'un brin lorsqu'il est tiré, avec où les brins se croisent. Ils ont également noté la direction dans laquelle chaque segment d'un brin tourne lorsqu'un nœud est resserré.

En comparant les diagrammes de nœuds de différentes forces, les chercheurs ont pu identifier des « règles générales de comptage, " ou des caractéristiques qui déterminent la stabilité d'un nœud. Fondamentalement, un nœud est plus fort s'il a plus de croisements de brins, ainsi que plus de "fluctuations de torsion" - des changements dans le sens de rotation d'un segment de brin à un autre.

Par exemple, si un segment de fibre est tourné vers la gauche à un croisement et tourné vers la droite à un croisement voisin alors qu'un nœud est tendu, cela crée une fluctuation de torsion et donc une friction opposée, ce qui ajoute de la stabilité à un nœud. Si, cependant, le segment est tourné dans le même sens à deux croisements voisins, il n'y a pas de fluctuation de torsion, et le brin est plus susceptible de tourner et de glisser, produire un nœud plus faible.

Ils ont également découvert qu'un nœud peut être renforcé s'il a plus de « circulations, " qu'ils définissent comme une région dans un nœud où deux brins parallèles se bouclent l'un contre l'autre dans des directions opposées, comme un flux circulaire.

En tenant compte de ces simples règles de comptage, l'équipe a pu expliquer pourquoi un nœud de récif, par exemple, est plus fort qu'un nœud de mamie. Alors que les deux sont presque identiques, le nœud récifal a un nombre plus élevé de fluctuations de torsion, ce qui en fait une configuration plus stable. De même, le nœud zeppelin, en raison de ses circulations légèrement plus élevées et de ses fluctuations de torsion, est plus fort, bien que peut-être plus difficile à dénouer, que le papillon alpin, un nœud couramment utilisé en escalade.

« Si vous prenez une famille de nœuds similaires parmi lesquels la connaissance empirique en distingue un comme « le meilleur, " maintenant nous pouvons dire pourquoi il pourrait mériter cette distinction, " dit Kolle, qui envisage le nouveau modèle peut être utilisé pour configurer des nœuds de différentes forces pour s'adapter à des applications particulières. « On peut jouer des nœuds les uns contre les autres pour des usages en suture, voile, escalade, et chantier. C'est merveilleux."

Cette histoire est republiée avec l'aimable autorisation de MIT News (web.mit.edu/newsoffice/), un site populaire qui couvre l'actualité de la recherche du MIT, innovation et enseignement.