(Phys.org)—Les chercheurs ont découvert que les solutions d'une célèbre fonction mathématique appelée fonction zêta de Riemann correspondent aux solutions d'une autre, différents types de fonctions qui peuvent faciliter la résolution de l'un des plus gros problèmes mathématiques :l'hypothèse de Riemann. Si les résultats peuvent être rigoureusement vérifiés, alors cela prouverait enfin l'hypothèse de Riemann, qui vaut 1 $, 000, 000 Prix du millénaire du Clay Mathematics Institute.

Alors que l'hypothèse de Riemann remonte à 1859, Depuis une centaine d'années, les mathématiciens essaient de trouver une fonction d'opérateur comme celle découverte ici, car il est considéré comme une étape clé dans la preuve.

"A notre connaissance, c'est la première fois qu'un opérateur explicite - et peut-être étonnamment relativement simple - a été identifié dont les valeurs propres ['solutions' dans la terminologie matricielle] correspondent exactement aux zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann, " Dorjé Brody, un physicien mathématique à l'Université Brunel de Londres et co-auteur de la nouvelle étude, Raconté Phys.org .

Ce qui reste encore à prouver est la deuxième étape clé :que toutes les valeurs propres sont des nombres réels plutôt qu'imaginaires. Si des travaux futurs peuvent le prouver, alors cela prouverait enfin l'hypothèse de Riemann.

Brody et ses coauteurs, les physiciens mathématiques Carl Bender de l'Université Washington à St. Louis et Markus Müller de l'Université de Western Ontario, ont publié leurs travaux dans un récent numéro de Lettres d'examen physique .

Espacement des nombres premiers

L'hypothèse de Riemann a un si fort attrait parce qu'elle est profondément liée à la théorie des nombres et, en particulier, les nombres premiers. Dans son article de 1859, Le mathématicien allemand Bernhard Riemann a étudié la distribution des nombres premiers - ou plus précisément, le problème "étant donné un entier N, combien y a-t-il de nombres premiers plus petits que N ?"

Riemann a conjecturé que la distribution des nombres premiers plus petits que N est liée aux zéros non triviaux de ce qu'on appelle maintenant la fonction zêta de Riemann, ( s ). (Les zéros sont les solutions, ou les valeurs de s qui rendent la fonction égale à zéro. Même s'il était facile pour les mathématiciens de voir qu'il y a des zéros chaque fois que s est un nombre pair négatif, ces zéros sont considérés comme des zéros triviaux et ne sont pas la partie intéressante de la fonction.)

L'hypothèse de Riemann était que tous les zéros non triviaux se trouvent le long d'une seule ligne verticale (½ + ce ) dans le plan complexe, ce qui signifie que leur composante réelle est toujours ½, tandis que leur composante imaginaire je varie au fur et à mesure que vous montez et descendez la ligne.

Au cours des 150 dernières années, les mathématiciens ont trouvé littéralement des milliards de zéros non triviaux, et tous ont une composante réelle de ½, comme le pensait Riemann. Il est largement admis que l'hypothèse de Riemann est vraie, et beaucoup de travail a été fait sur la base de cette hypothèse. Mais malgré des efforts intensifs, l'hypothèse de Riemann - que tous les zéros infiniment nombreux se trouvent sur cette seule ligne - n'a pas encore été prouvée.

Solutions identiques

L'un des indices les plus utiles pour prouver l'hypothèse de Riemann vient de la théorie des fonctions, qui révèle que les valeurs de la partie imaginaire, t , auquel la fonction s'annule sont des nombres discrets. Cela suggère que les zéros non triviaux forment un ensemble de nombres réels et discrets, qui est comme les valeurs propres d'une autre fonction appelée opérateur différentiel, qui est largement utilisé en physique.

Au début des années 1900, cette similitude a conduit certains mathématiciens à se demander s'il existe réellement un opérateur différentiel dont les valeurs propres correspondent exactement aux zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann. Aujourd'hui, cette idée s'appelle la conjecture de Hilbert-Pólya, nommé d'après David Hilbert et George Pólya, malgré le fait qu'aucun d'eux n'a rien publié à ce sujet.

"Comme il n'y a pas de publication par Hilbert ou Pólya, l'énoncé exact du programme Hilbert-Pólya est sujet dans une certaine mesure à l'interprétation, mais il n'est probablement pas déraisonnable de dire qu'il consiste en deux étapes :(a) trouver un opérateur dont les valeurs propres correspondent aux zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann; et (b) déterminer si les valeurs propres sont réelles, " dit Brody.

"L'objectif principal de notre travail jusqu'à présent a été sur l'étape (a), " dit-il. " Nous avons identifié un opérateur dont les valeurs propres correspondent exactement aux zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann. Nous commençons seulement à penser à l'étape (b), et comment relever ce défi. S'il sera difficile ou facile de remplir les étapes manquantes vers l'étape (b), à ce stade, nous ne pouvons pas spéculer - des travaux supplémentaires sont nécessaires pour avoir une meilleure idée de l'ampleur des difficultés impliquées. "

L'opérateur

L'un des aspects intéressants de l'opérateur récemment découvert est qu'il entretient des liens étroits avec la physique quantique.

En 1999, lorsque les physiciens mathématiques Michael Berry et Jonathan Keating étudiaient la conjecture de Hilbert-Pólya, ils ont fait une autre conjecture importante. Si un tel opérateur existe, ils ont dit, alors il devrait correspondre à un système quantique théorique avec des propriétés particulières. C'est ce qu'on appelle maintenant la conjecture de Berry-Keating. Mais personne n'a jamais trouvé un tel système avant maintenant, et c'est un deuxième aspect important du nouveau travail.

"Nous avons identifié une condition de quantification pour l'hamiltonien de Berry-Keating, vérifiant ainsi essentiellement la validité de la conjecture de Berry-Keating, " dit Brody.

Les hamiltoniens sont souvent utilisés pour décrire l'énergie des systèmes physiques. Le nouvel opérateur, cependant, ne semble décrire aucun système physique, mais c'est plutôt une fonction purement mathématique.

"Cela peut être décevant, mais un tel hamiltonien ne semble pas représenter les systèmes physiques d'une manière évidente; ou du moins jusqu'à présent, nous n'avons trouvé aucune indication que notre hamiltonien correspond à un système physique, " dit Brody.

"Mais on pourrait alors se demander 'pourquoi publier dans PRL ?' La réponse est que la plupart des techniques suggestives utilisées pour certaines analyses heuristiques dans notre article sont empruntées aux techniques de la théorie quantique pseudo-hermitienne à symétrie PT développées au cours des 15 dernières années environ. La compréhension conventionnelle de la conjecture de Hilbert-Pólya est que l'opérateur (hamiltonien) devrait être hermitien, et l'on lie naturellement cela à la théorie quantique selon laquelle les hamiltoniens sont traditionnellement tenus d'être hermitiens. Nous proposons une forme pseudo-hermitienne du programme de Hilbert-Pólya, qui nous semble mériter d'être exploré plus avant."

De vraies solutions

Maintenant, le plus grand défi qui reste est de montrer que les valeurs propres de l'opérateur sont des nombres réels.

En général, les chercheurs sont optimistes que les valeurs propres sont réellement réelles, et dans leur article, ils présentent un argument solide pour cela basé sur la symétrie PT, un concept de la physique quantique. Essentiellement, La symétrie PT dit que vous pouvez changer les signes des quatre composantes de l'espace-temps (trois dimensions d'espace ou de "parité" et une dimension de temps), et, si le système est PT-symétrique, alors le résultat sera le même que l'original.

Bien que la nature en général ne soit pas symétrique PT, l'opérateur que les physiciens ont construit est. Mais maintenant, les chercheurs veulent montrer que cette symétrie se brise. Comme ils l'expliquent dans leur article, s'il peut être démontré que la symétrie PT est brisée pour la partie imaginaire de l'opérateur, alors il s'ensuivrait que les valeurs propres sont toutes des nombres réels, qui constituerait enfin la preuve tant attendue de l'hypothèse de Riemann.

On considère généralement qu'une preuve de l'hypothèse de Riemann sera très utile en informatique, surtout la cryptographie. Les chercheurs souhaitent également déterminer ce que leurs résultats pourraient réellement signifier pour comprendre des principes mathématiques plus fondamentaux.

« Ce que nous avons exploré jusqu'à présent contient peu d'informations sur la théorie des nombres ; alors que l'on pourrait s'attendre à ce que, étant donné son importance en théorie des nombres, sûrement toute tentative qui réussit à faire des progrès dans l'établissement de l'hypothèse de Riemann offrirait des aperçus de la théorie des nombres, " dit Brody. " Bien sûr, ce n'est pas du tout le cas, mais néanmoins il serait intéressant d'explorer si l'un des aspects dynamiques du système hypothétique décrit par notre hamiltonien pourrait être lié à certains résultats de la théorie des nombres. À cet égard, une analyse semi-classique sur notre hamiltonien serait l'un des prochains objectifs."

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