Ce film de savon contenu dans une tige métallique a des jonctions où plusieurs films de savon se rencontrent. En 2014, Le professeur Jenny Harrison de l'UC Berkley a étendu la solution au problème du Plateau pour prendre en compte des formes de film de savon plus compliquées comme celle-ci. Crédit : Institut des sciences et technologies d'Okinawa
Souvent utilisé pour le plaisir des enfants, les bulles de savon sont délicates, des films réfléchissant la lumière qui ne durent généralement que quelques secondes avant d'éclater. Mais au-delà de leur valeur pour divertir, les bulles de savon sont des exemples physiques du riche problème mathématique des surfaces minimales; ils prennent la forme de la plus petite surface possible, contenant un volume donné. Des chercheurs de l'Okinawa Institute of Science and Technology Graduate University (OIST) ont récemment trouvé la solution à un problème mathématique, connu sous le nom de problème de Kirchhoff-Plateau, qui est simplement illustré par des films de savon qui s'étendent sur des boucles flexibles.
"Notre solution du problème Kirchhoff-Plateau apporte de beaux résultats mathématiques proches de ce qui se passe dans le monde physique, " dit le Dr Giulio Giusteri, co-auteur de l'article récemment publié dans le Journal of Nonlinear Science. Le Dr Giusteri a travaillé avec le professeur Eliot Fried, qui dirige l'Unité Mathematical Soft Matter de l'OIST, et le Dr Luca Lussardi de l'Università Cattolica del Sacro Cuore en Italie.
La question à laquelle l'équipe a répondu est une variante du "problème du plateau", un problème mathématique vieux de plusieurs siècles, du nom d'un physicien belge du XIXe siècle, Joseph Plateau. Plateau a émis l'hypothèse que lorsque vous plongez une armature en fil de fer rigide dans une solution de savon, la surface du film de savon formé sur le cadre représente une surface minimale mathématiquement possible, peu importe la forme du cadre.
La première solution satisfaisante au problème du Plateau a été apportée au 20ème siècle, par le mathématicien américain Jesse Douglas, pour laquelle il a reçu la médaille Fields en 1936. Plus récemment, en 2014, Le professeur Jenny Harrison de l'UC Berkeley a prolongé les travaux de Douglas, fournir une preuve valable sous des hypothèses générales englobant, par exemple, situations dans lesquelles des jonctions sont présentes où plusieurs films de savon se rencontrent.
Les films de savon contenus dans une boucle souple exercent une force sur la boucle, l'amenant à changer de forme. Par exemple, la même boucle peut former une forme d'étoile ou une forme de cygne selon la tension superficielle du film de savon. Crédit : Institut des sciences et technologies d'Okinawa
Contrairement au problème du Plateau dans lequel un film de savon s'étend sur une trame fixe, le problème de Kirchhoff-Plateau concerne les formes d'équilibre des films de savon qui enjambent des boucles souples, fabriqué, par exemple, de fil de pêche, qui peut être décrit à l'aide de la théorie des tiges de Kirchhoff, un modèle qui fournit une approche puissante pour étudier la statique et la dynamique des tiges élastiques minces. La complication est qu'une boucle flexible peut changer de forme en réponse à la force exercée par le film de savon. En tant que tel, une solution au problème nécessite de déterminer non seulement la forme du film de savon mais aussi la forme de la boucle de délimitation. En revanche, la forme de la frontière dans le problème de Plateau d'origine est connue car elle est constituée d'un fil rigide qui reste fixé contre les forces relativement faibles du film de savon.
Une complication supplémentaire associée au problème de Kirchhoff-Plateau est que, contrairement au problème de Plateau original dans lequel la frontière est supposée être unidimensionnelle, une tige de Kirchhoff est un objet en trois dimensions. Bien que les filaments comme la ligne de pêche soient fins, ils sont de plusieurs ordres de grandeur plus épais qu'un film de savon en équilibre, ce qui signifie que la surface du film de savon peut changer en fonction du point auquel le film entre en contact avec la boucle.
Les chercheurs ont réussi à traduire tous ces effets physiques en termes mathématiques. Comme l'explique le professeur Fried :« Quelle que soit la force de la compétition entre la tension superficielle du film de savon et la réponse élastique de la boucle, le système est toujours capable de s'adapter pour obtenir une configuration de moindre énergie."
La solution au problème de Kirchhoff-Plateau contribue non seulement à la compréhension des formes mathématiques minimisant l'énergie, mais peut également être appliqué aux systèmes biologiques. Par exemple, cela pourrait nous aider à comprendre comment la forme d'une protéine détermine comment elle interagit et se lie à une surface.
L'équipe travaille maintenant sur des simulations informatiques qui, sur la base de ce modèle mathématique, peut prédire le comportement des systèmes physiques.
