Considérons deux chemins différents reliant les mêmes états initial et final d'un système. Soit Q1 la chaleur absorbée par le système le long du chemin 1 et Q2 la chaleur absorbée le long du chemin 2. Si la chaleur était une fonction d’état, alors nous aurions Q1 =Q2, puisque le système est dans les mêmes états initial et final.

Cependant, nous savons que la chaleur n’est pas une fonction de l’État. En fait, la quantité de chaleur absorbée par un système dépend du chemin emprunté. Cela peut être vu dans l’exemple suivant.

Considérons un gaz enfermé dans un cylindre avec un piston mobile. Le gaz est initialement à une pression de 1 atm et un volume de 1 L. On peut changer l'état du gaz à une pression de 2 atm et un volume de 2 L en suivant deux chemins différents.

Chemin 1 : On peut d’abord augmenter la pression du gaz jusqu’à 2 atm tout en maintenant le volume constant. Cela fera chauffer le gaz. On peut alors augmenter le volume du gaz jusqu'à 2 L tout en maintenant la pression constante. Cela fera refroidir le gaz. La chaleur nette absorbée par le gaz le long de ce trajet est Q1.

Chemin 2 : On peut d’abord augmenter le volume du gaz à 2 L tout en maintenant la pression constante. Cela fera refroidir le gaz. On peut alors augmenter la pression du gaz jusqu'à 2 atm tout en maintenant le volume constant. Cela fera chauffer le gaz. La chaleur nette absorbée par le gaz le long de ce trajet est Q2.

Puisque les deux chemins sont différents, nous avons Q1 ≠ Q2. Cela prouve que la chaleur n’est pas une fonction d’état.

Preuve 2 :Le travail est une fonction de chemin

Considérons deux chemins différents reliant les mêmes états initial et final d'un système. Soit W1 le travail effectué sur le système le long du chemin 1 et W2 le travail effectué le long du chemin 2. Si le travail était une fonction d’état, alors nous aurions W1 =W2, puisque le système est dans les mêmes états initial et final.

Or, nous savons que le travail n’est pas une fonction de l’État. En fait, la quantité de travail effectuée sur un système dépend du chemin emprunté. Cela peut être vu dans l’exemple suivant.

Considérons un gaz enfermé dans un cylindre avec un piston mobile. Le gaz est initialement à une pression de 1 atm et un volume de 1 L. On peut changer l'état du gaz à une pression de 2 atm et un volume de 2 L en suivant deux chemins différents.

Chemin 1 : On peut d’abord augmenter la pression du gaz jusqu’à 2 atm tout en maintenant le volume constant. Cela fera chauffer le gaz. On peut alors augmenter le volume du gaz jusqu'à 2 L tout en maintenant la pression constante. Cela fera refroidir le gaz. Le travail net effectué sur le gaz le long de ce chemin est W1.

Chemin 2 : On peut d’abord augmenter le volume du gaz à 2 L tout en maintenant la pression constante. Cela fera refroidir le gaz. On peut alors augmenter la pression du gaz jusqu'à 2 atm tout en maintenant le volume constant. Cela fera chauffer le gaz. Le travail net effectué sur le gaz le long de ce chemin est W2.

Puisque les deux chemins sont différents, nous avons W1 ≠ W2. Cela prouve que le travail n’est pas une fonction de l’État.