Depuis le début du siècle dernier, la recherche sur les systèmes complexes a fait progresser les domaines du chaos, fractales et réseaux. Un réseau est constitué de nœuds et de bords, où les nœuds représentent les éléments d'un système complexe et les arêtes décrivent les interactions entre eux. De telles relations nœud-bord peuvent être représentées par une matrice d'adjacence, dont l'ordre est égal au nombre de nœuds et chaque somme de ligne correspond à un degré de nœud. L'hétérogénéité des degrés des nœuds conduit à l'émergence de structures en forme d'étoile centrées au niveau des nœuds centraux.

Pour remédier à l'hétérogénéité des degrés des nœuds, le modèle de réseau sans échelle est entré en jeu, attirer une large attention. À ce jour, à mesure que la technologie Internet progresse et que la recherche sur le réseau progresse, les chercheurs ont réalisé que la perception traditionnelle des réseaux hétérogènes en étoile est insuffisante pour décrire les réseaux complexes en évolution et les problèmes scientifiques des réseaux. Par exemple, il existe de nombreuses communautés en ligne sur Internet qui dépendent de structures sociales basées sur le cycle pour la communication de groupe et la diffusion d'informations.

Le fonctionnement du réseau et les propriétés dynamiques ont des liens de plus en plus étroits avec les caractéristiques topologiques du réseau d'ordre supérieur, sous-structures homogènes et invariants topologiques. Ainsi, déplacer l'attention des degrés de nœuds vers les nombres de cycles révèle de nombreux sous-réseaux totalement homogènes dans des réseaux complexes. Ici, un réseau totalement homogène est défini comme un réseau avec des nœuds de même degré, même circonférence (nombre d'arêtes dans le plus petit cycle d'un nœud), et même chemin-somme (somme des chemins les plus courts vers un nœud à partir de tous les autres nœuds). Quelques exemples typiques sont présentés à la figure 1 à titre d'illustration.

A la fin du 19ème siècle, Poincaré a découvert que les limites sont essentielles pour différencier les formes géométriques telles que les disques, sphères et tores. Il a décomposé un objet géométrique en composants de base appelés simplexes (point, ligne, Triangle, tétraèdre, etc.), puis introduit les notions de regroupement d'homologies, Nombre de Betti et matrice de corrélation nœud-arête, et la formule d'Euler-Poincaré, ce qui montre que la sommation alternative des simplexes est égale à la sommation alternative des nombres de Betti.

L'idée de base de Poincaré est de diviser une forme géométrique complexe afin de simplifier la procédure pour une solution. Il a pu le faire car il existe de nombreux sous-réseaux totalement homogènes, tels que les triangles et les tétraèdres (appelés cliques en théorie des graphes ou simplexes en topologie) dans un réseau complexe. Ce sont des structures de base pour soutenir les fonctions du réseau - différentes des étoiles, ce sont des cycles. Avec ces éléments de base, il est possible de décrire un réseau en utilisant une série d'espaces vectoriels sur le champ binaire.

Par exemple, l'espace vectoriel a pour base des arêtes, de dimension égale au nombre d'arêtes; l'espace vectoriel a pour base des triangles, de dimension égale au nombre de triangles, etc. Puisque la frontière d'un triangle est constituée d'arêtes, les deux espaces vectoriels adjacents et peuvent être corrélés via un opérateur frontière, et sa matrice de limites peut être utilisée pour la présentation et l'analyse. La matrice de frontière a un contenu mathématique plus riche et est plus utile que la matrice d'adjacence. Par exemple, en utilisant le rang de la matrice limite, on peut calculer le nombre de Betti, un invariant important du réseau, qui est le nombre de cavités linéairement indépendantes d'ordres différents dans le réseau, l'établissement d'un groupe d'homologie. La figure 2 montre les relations de certains espaces vectoriels et leurs opérateurs de frontière correspondants.

En 2002, Xiaofan Wang et Guanrong Chen ont publié le premier critère de synchronisation du réseau. Elle a été suivie d'une série de travaux dont l'introduction de réseaux totalement homogènes via l'optimisation par Dinghua Shi, Guanrong Chen et Xiaoyong Yan en 2013, révélant que le réseau totalement homogène avec une circonférence plus longue et une somme de chemins plus courte a une meilleure synchronisabilité entre les réseaux de même taille. En outre, en 2006, Linyuan Lü et Tao Zhou ont utilisé l'opérateur H pour découvrir la relation entre le degré de nœud, H-index et valeur du noyau, établir le théorème DHC. Dans l'enquête sur l'indice de cycle, un travail important est l'étude empirique de Bassett et al. en 2018 sur le réseau fonctionnel cérébral, dans laquelle ils soulignaient l'importance des cliques et des cavités dans le fonctionnement des réseaux. Enfin et surtout, nous avons récemment découvert la relation étroite entre les nombres caractéristiques d'Euler et la synchronisabilité du réseau.

Cette série de résultats progressifs importants démontre l'importance et l'importance de la recherche interdisciplinaire en physique, biologie et mathématiques. Considérant que cette nouvelle direction de l'analyse structurelle des réseaux utilisant des outils topologiques algébriques est prometteuse, les chercheurs ont choisi de publier leur article actuel, « Des réseaux totalement homogènes, " dans Revue scientifique nationale .