Dites que vous devez faire vos courses et que vous avez un budget limité. Vous voulez acheter des pâtes et du pain pour un grand groupe, mais vous ne pouvez pas dépenser plus de vingt dollars. En théorie, vous ne pouviez acheter que du pain et pas de pâtes, ou beaucoup de pain et une seule boîte de pâtes. Combien de combinaisons différentes de boîtes de pâtes et de miches de pain pourriez-vous acheter? Et comment tirer le meilleur parti de chacun pour votre argent?

Des problèmes comme ceux-ci sont appelés inégalités linéaires: des équations dont le graphique est une ligne, mais au lieu d'utiliser le signe égal, ils utilisent des symboles d'inégalité comme> ou < .

TL; DR (trop long; n'a pas lu)

Pour résoudre une inégalité linéaire, vous devez trouver toutes les combinaisons de x
et y
qui rendent l'inégalité vraie. Vous pouvez résoudre des inégalités linéaires en utilisant l'algèbre ou en faisant un graphique.

Pour résoudre une inégalité linéaire (ou n'importe quelle équation), vous devez trouver toutes les combinaisons de x
et y
qui rendent cette équation vraie.

Vous pouvez résoudre des inégalités linéaires algébriquement ou vous pouvez représenter les solutions sur un graphique (ou les deux!). Examinons ensemble quelques exemples de problèmes.
Résolution algébrique linéaire des inégalités

Ce processus est presque
identique à la résolution d'une équation linéaire, mais avec une exception clé. Jetez un œil au problème ci-dessous.

−4_x_ - 6> 12 - x

Tout d'abord, obtenez tous les x
-es sur le même côté du signe "supérieur à". Ajoutez x
des deux côtés pour annuler le x
sur le côté droit et ne disposez que de x
sur la gauche.

- 4_x_ (+ x
) - 6> 12 - x
(+ x
)

−3_x_ - 6> 12.

Ajoutez maintenant six des deux côtés:

−3_x_ - 6 (+ 6)> 12 (+ 6)

−3_x_> 18.

Jusqu'à présent, cela a été exactement comme toute équation linéaire. Mais maintenant, les choses vont changer! Lorsque vous divisez les deux côtés d'une inégalité par un nombre négatif, vous devez changer la direction du symbole d'inégalité.

Donc, pour −3_x_> 18, nous allons diviser les deux côtés par −3, et alors nous allons retourner le signe> en un signe <.

x
<−6
Graphique Inégalités linéaires

Et le graphisme? Encore une fois, le processus est vraiment similaire aux équations linéaires, mais il y a une différence importante. Puisque vous devez indiquer toutes
les combinaisons de x
et y
qui rendent une inégalité vraie, vous allez représenter graphiquement la ligne comme d'habitude et ensuite vous allons ombrer dans la section du graphique qui vous donne le reste des solutions possibles.

Par exemple, comment décririez-vous l'inégalité y
<3_x_ + 6?

Tout d'abord, vous remarquerez que l'inégalité se présente sous forme d'interception de pente, ce qui signifie que nous pouvons utiliser l'interception y
et la pente pour tracer rapidement le graphique.

Le y
-intercept est 6, alors tracez un point à (0, 6), puis utilisez le fait que la pente est 3 pour monter de trois unités et une unité vers la droite, puis tracez un point. Votre point devrait être à (1, 9). Pour rendre une ligne nette et jolie, il est agréable d'obtenir trois points, alors dessinez un point de plus en commençant à (1, 9) et en remontant trois, plus d'un. Vous obtiendrez un point à (2, 12). Tracez maintenant une ligne en connectant les points.

Génial! Vous venez de représenter l'égalité y
\u003d 3_x_ + 6, mais rappelez-vous que l'équation d'origine est y
<3_x_ + 6. Utilisez cette astuce simple pour ombrer la partie correcte du graphique: lorsque le l'inégalité est sous forme d'interception de pente, si vous avez y
<, alors ombragez tout sous la ligne. Si vous avez y
>, ombragez tout au-dessus de la ligne.

Mais revérifiez pour vous assurer! Lorsque vous ombragez dans une section entière du graphique, cela signifie que l'un de ces points devrait rendre l'équation vraie. Saisissez un point aléatoire que vous avez ombré et branchez x
et y
dans l'inégalité d'origine. Si cela fonctionne, vous êtes prêt à partir. Si ce n'est pas le cas, vous devez revérifier votre graphique et /ou votre algèbre.

Une dernière chose: lorsque vous avez> ou <, la ligne sur le graphique doit être pointillée! Lorsque l'inégalité utilise ≥ ou ≤, la ligne doit être solide. Cela montre si les points sur la droite elle-même sont inclus dans la solution.
Résoudre des systèmes d'inégalités linéaires

Résoudre un système d'inégalités linéaires est très similaire à résoudre des systèmes d'équations. La représentation graphique est le moyen le plus simple de résoudre les inégalités linéaires.

Pour représenter graphiquement un système d'inégalités linéaires, tracez votre première inégalité comme vous l'avez fait ci-dessus et ombragez dans les zones au-dessus ou en dessous de votre ligne. Tracez ensuite le graphique de la deuxième inégalité. Encore une fois, vous allez ombrer toutes les sections du graphique qui rendent l'inégalité vraie. La plupart du temps, il y aura une zone sur le graphique que vous aurez ombragée deux fois! C'est la solution au système des inégalités, car c'est la section du graphique où les deux inégalités sont vraies.