Une distribution binomiale décrit une variable X si 1) il existe un nombre fixe n observations de la variable; 2) toutes les observations sont indépendantes les unes des autres; 3) la probabilité de succès p est la même pour chaque observation; et 4) chaque observation représente l'un des deux résultats possibles (d'où le mot «binomial» - pensez «binaire»). Cette dernière qualification distingue les distributions binomiales des distributions de Poisson, qui varient de façon continue plutôt que discrète.

Une telle distribution peut s'écrire B (n, p).
Calcul de la probabilité d'une observation donnée

Disons qu'une valeur k se situe quelque part le long du graphique de la distribution binomiale, qui est symétrique par rapport au np moyen. Pour calculer la probabilité qu'une observation ait cette valeur, cette équation doit être résolue:

P (X \u003d k) \u003d (n: k) p ^{k (1-p) ( nk)}

où (n: k) \u003d (n!) ÷ (k!) (n - k)!

Le "!" signifie une fonction factorielle, par exemple, 27! \u003d 27 x 26 x 25 x ... x 3 x 2 x 1.
Exemple

Supposons qu'un basketteur effectue 24 lancers francs et ait un taux de réussite établi de 75% (p \u003d 0,75). Quelles sont les chances qu'elle frappe exactement 20 de ses 24 tirs?

Calculez d'abord (n: k) comme suit:

(n!) ÷ (k!) (N - k) ! \u003d 24! ÷ (20!) (4!) \u003d 10,626

p ^{k \u003d (0,75) 20 \u003d 0,00317}

(1-p) ^{(nk) \u003d (0,25) 4 \u003d 0,00390}

Ainsi P (20) \u003d (10,626) (0,00317) (0,00390) \u003d 0,1314.

Ce joueur a donc 13,1% de chances de faire exactement 20 lancers francs sur 24, conformément à ce que l'intuition pourrait suggérer à propos d'un joueur qui toucherait habituellement 18 lancers francs sur 24 (en raison de son taux de réussite établi de 75%).