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    Qu'est-ce que le triangle de Pascals?

    Si vous aimez les bizarreries mathématiques, vous adorerez le triangle de Pascal. Nommé d'après le mathématicien français du 17ème siècle Blaise Pascal, et connu des Chinois pendant de nombreux siècles avant Pascal comme le triangle Yanghui, c'est en fait plus qu'une bizarrerie. C'est un arrangement spécifique de nombres qui est incroyablement utile en algèbre et en théorie des probabilités. Certaines de ses caractéristiques sont plus déroutantes et intéressantes qu'elles ne sont utiles. Ils aident à illustrer la mystérieuse harmonie du monde telle que décrite par les nombres et les mathématiques.

    TL; DR (Trop long; n'a pas lu)

    Pascal a dérivé le triangle en développant (x + y) ^ n pour augmenter les valeurs de n et disposer les coefficients des termes dans un motif triangulaire. Il a de nombreuses propriétés intéressantes et utiles.
    Construire le triangle de Pascal

    La règle pour construire le triangle de Pascal ne pourrait pas être plus simple. Commencez par le numéro un au sommet et formez la deuxième rangée en dessous avec une paire. Pour construire la troisième et toutes les lignes suivantes, commencez par en placer une au début et à la fin. Dérivez chaque chiffre entre cette paire de chiffres en ajoutant les deux chiffres immédiatement au-dessus. La troisième rangée est donc 1, 2, 1, la quatrième rangée est 1, 3, 3, 1, la cinquième rangée est 1, 4, 6, 4, 1 et ainsi de suite. Si chaque chiffre occupe une case de la même taille que toutes les autres cases, l'arrangement forme un triangle équilatéral parfait délimité sur deux côtés par des et avec une base de longueur égale au numéro de la ligne. Les rangées sont symétriques en ce qu'elles lisent la même chose en arrière et en avant.
    Appliquer le triangle de Pascal en algèbre

    Pascal a découvert le triangle, qui était connu depuis des siècles par les philosophes perses et chinois, lorsqu'il étudiait le expansion algébrique de l'expression (x + y) n. Lorsque vous développez cette expression à la nième puissance, les coefficients des termes de l'expansion correspondent aux nombres de la nième ligne du triangle. Par exemple, (x + y) 0 \u003d 1; (x + y) 1 \u003d x + y; (x + y) 2 \u003d x 2 + 2xy + y 2 et ainsi de suite. Pour cette raison, les mathématiciens appellent parfois l'arrangement le triangle des coefficients binomiaux. Pour de grands nombres de n, il est évidemment plus facile de lire les coefficients d'expansion du triangle que de les calculer.
    Triangle de Pascal dans la théorie des probabilités

    Supposons que vous jetiez une pièce un certain nombre de fois. Combien de combinaisons de têtes et de queues pouvez-vous obtenir? Vous pouvez le découvrir en regardant la ligne dans le triangle de Pascal qui correspond au nombre de fois que vous lancez la pièce et en ajoutant tous les nombres de cette ligne. Par exemple, si vous lancez la pièce 3 fois, il y a 1 + 3 + 3 + 1 \u003d 8 possibilités. La probabilité d'obtenir le même résultat trois fois de suite est donc de 1/8.

    De même, vous pouvez utiliser le triangle de Pascal pour trouver combien de façons vous pouvez combiner des objets ou des choix d'un ensemble donné. Supposons que vous ayez 5 balles et que vous vouliez savoir de combien de façons vous pouvez en choisir deux. Allez à la cinquième ligne et regardez la deuxième entrée pour trouver la réponse, qui est 5.
    Motifs intéressants

    Le triangle de Pascal contient un certain nombre de motifs intéressants. En voici quelques-uns:

  • La somme des nombres dans chaque ligne est le double de la somme des nombres dans la ligne ci-dessus.


  • En lisant de chaque côté, la première ligne est tous les uns, la deuxième ligne est les nombres de comptage, la troisième est les nombres triangulaires, la quatrième les nombres tétraédriques, etc.


  • Chaque ligne forme l'exposant correspondant de 11 après avoir effectué une simple modification.


  • Vous pouvez dériver la série de Fibonacci à partir du motif triangulaire.


  • La coloration de tous les nombres impairs et pairs de différentes couleurs produit un motif visuel connu sous le nom de triangle de Sierpinski.


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