Dans une séquence géométrique, chaque terme est égal au terme précédent multiplié par un multiplicateur constant non nul appelé facteur commun. Les séquences géométriques peuvent avoir un nombre fixe de termes, ou peuvent être infinies. Dans les deux cas, les termes d'une séquence géométrique peuvent rapidement devenir très grands, très négatifs ou très proches de zéro. Par rapport aux séquences arithmétiques, les termes changent beaucoup plus rapidement, mais tandis que les séquences arithmétiques infinies augmentent ou diminuent régulièrement, les séquences géométriques peuvent approcher zéro, selon le facteur commun.

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Une séquence géométrique est une liste ordonnée de nombres dans laquelle chaque terme est le produit du terme précédent et un multiplicateur fixe non nul appelé le facteur commun. Chaque terme d'une suite géométrique est la moyenne géométrique des termes qui la précèdent et la suivent. Les séquences géométriques infinies avec un facteur commun entre +1 et -1 s'approchent de la limite zéro lorsque les termes sont ajoutés alors que les séquences dont le facteur commun est supérieur à +1 ou inférieur à -1 vont à plus ou moins l'infini.

Comment fonctionnent les séquences géométriques

Une séquence géométrique est définie par son numéro de départ a, le facteur commun r et le nombre de termes S. La forme générale correspondante d'une suite géométrique est:
a, ar, ar ^{2, ar 3 ... ar S-1.}

La formule générale pour le terme n d'une séquence géométrique (c'est-à-dire n'importe quel terme dans cette séquence) est:
> a _{n = ar ^n-1.}

La formule récursive, qui définit un terme par rapport au terme précédent, est:
a _{n = ra n-1}

Un exemple de séquence géométrique avec le numéro de départ 3, le facteur commun 2 et huit termes est 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Calcul du dernier terme en utilisant le forme générale ci-dessus, le terme est:

a _{8 = 3 × 2 ^{8-1 = 3 × 2 7 = 3 × 128 = 384.}}

En utilisant la formule générale pour le terme 4:

a _{4 = 3 × 2 ^{4-1 = 3 × 2 3 = 24.}}

Si vous voulez utiliser la formule récursive pour le terme 5, puis le terme 4 = 24, et un _{5 est égal à:}

a _{5 = 2 × 24 = 48.}

Géométrique Propriétés de la séquence

Les séquences géométriques ont des propriétés spéciales en ce qui concerne la moyenne géométrique. La moyenne géométrique de deux nombres est la racine carrée de leur produit. Par exemple, la moyenne géométrique de 5 et 20 est 10 parce que le produit 5 × 20 = 100 et la racine carrée de 100 est 10.

Dans les séquences géométriques, chaque terme est la moyenne géométrique du terme avant et le terme après. Par exemple, dans la séquence 3, 6, 12 ... ci-dessus, 6 est la moyenne géométrique de 3 et 12, 12 est la moyenne géométrique de 6 et 24, et 24 est la moyenne géométrique de 12 et 48.

Les autres propriétés des séquences géométriques dépendent du facteur commun. Si le facteur commun r est supérieur à 1, les séquences géométriques infinies se rapprocheront de l'infini positif. Si r est compris entre 0 et 1, les séquences approcheront de zéro. Si r est compris entre zéro et -1, les séquences approcheront de zéro, mais les termes alterneront entre des valeurs positives et négatives. Si r est inférieur à -1, les termes tendront vers l'infini positif et négatif en alternant les valeurs positives et négatives.

Les séquences géométriques et leurs propriétés sont particulièrement utiles dans les modèles scientifiques et mathématiques des processus du monde réel . L'utilisation de séquences spécifiques peut aider à l'étude de populations qui croissent à un rythme fixe sur des périodes données ou d'investissements qui suscitent de l'intérêt. Les formules générales et récursives permettent de prédire des valeurs précises dans le futur en fonction du point de départ et du facteur commun.