Les fractions radicales ne sont pas de petites fractions rebelles qui restent en retard, boivent et fument du pot. Au lieu de cela, ils sont des fractions qui comprennent des radicaux - généralement des racines carrées lorsque vous êtes introduit au concept, mais plus tard, vous pourriez également rencontrer des racines cubiques, des racines de quatrième et similaires, qui sont aussi appelés radicaux. En fonction de ce que votre enseignant vous demande de faire, il y a deux façons de simplifier les fractions radicales: soit éliminer complètement le radical, le simplifier ou le «rationaliser», ce qui signifie éliminer le radical du dénominateur mais peut encore avoir un radical dans le numérateur.

Annulation des expressions radicales d'une fraction

Considérez votre première option, en éliminant le radical de la fraction. Il y a deux façons de le faire. Si le même radical existe dans tous les termes de la partie supérieure et inférieure de la fraction, vous pouvez simplement décomposer et annuler l'expression radicale. Par exemple, si vous avez:

(2√3) /(3√3 _) _

Vous pouvez factoriser les deux radicaux, car ils sont présents dans chaque terme du numérateur et dénominateur. Cela vous laisse avec:

√3 /√3 × 2/3

Et parce que toute fraction avec exactement les mêmes valeurs non nulles au numérateur et au dénominateur est égale à un, vous pouvez réécrire ceci comme:

1 × 2/3

Ou simplement 2/3.

Simplifier l'expression radicale

Parfois vous serez confronté à un expression radicale qui n'a pas de réponse concise, comme √3 de l'exemple précédent. Dans ce cas, vous conserverez généralement le terme radical tel qu'il est, en utilisant des opérations de base comme l'affacturage ou l'annulation pour le supprimer ou l'isoler. Mais parfois, il y a une réponse évidente. Considérons la fraction suivante:

(√4) /(√9)

Dans ce cas, si vous connaissez vos racines carrées, vous pouvez voir que les deux radicaux représentent en réalité des entiers familiers. La racine carrée de 4 est 2 et la racine carrée de 9 est 3. Donc, si vous voyez des racines carrées familières, vous pouvez simplement réécrire la fraction avec elles dans leur forme simplifiée, entière. Dans ce cas, vous auriez:

2/3

Cela fonctionne également avec les racines de cube et d'autres radicaux. Par exemple, la racine cubique de 8 est 2 et la racine cubique de 125 est 5. Donc, si vous avez rencontré:

( ^{3√8) /( 3√125)}

Vous pourriez, avec un peu de pratique, voir tout de suite que cela simplifie à la fois beaucoup plus simple et facile à gérer:

2/5

Rationaliser le dénominateur

Souvent, les enseignants vous permettent de garder des expressions radicales dans le numérateur de votre fraction; mais, tout comme le nombre zéro, les radicaux causent des problèmes lorsqu'ils apparaissent dans le dénominateur ou le nombre inférieur de la fraction. Ainsi, la dernière façon dont on peut vous demander de simplifier les fractions radicales est une opération appelée rationalisation, qui consiste simplement à sortir le radical du dénominateur. Souvent, cela signifie que l'expression radicale apparaît au numérateur.

Considérons la fraction

4 /_√_5

Vous ne pouvez pas facilement simplifier _√_5 à un entier, et même si vous le factorisez, vous êtes toujours à gauche avec une fraction qui a un radical dans le dénominateur, comme suit:

1 /_√_5 × 4/1

Donc, aucune des méthodes déjà discutées ne fonctionnera. Mais si vous vous souvenez des propriétés des fractions, une fraction avec un nombre différent de zéro en haut et en bas est égale à 1. Vous pouvez donc écrire:

√_5 /
√_5 = 1

Et comme vous pouvez multiplier 1 fois rien d'autre sans changer la valeur de cette autre chose, vous pouvez aussi écrire ce qui suit sans vraiment changer la valeur de la fraction:

√_5 /
√ 5 × 4 /
√_5

Une fois que vous vous multipliez, il se passe quelque chose de spécial. Le numérateur devient 4_√_5, ce qui est acceptable parce que votre objectif était simplement de sortir le radical du dénominateur. S'il apparaît dans le numérateur, vous pouvez le gérer.

Pendant ce temps, le dénominateur devient √_5 ×
√ 5 ou (
√_5) ^{2. Et parce qu'une racine carrée et un carré s'annulent mutuellement, cela simplifie à 5. Donc votre fraction est maintenant:}

4_√_5 /5, ce qui est considéré comme une fraction rationnelle parce qu'il n'y a pas de radical dans le dénominateur.