Voici une ventilation:
1. Mécanique lagrangienne
La mécanique lagrangienne est un cadre puissant pour décrire le mouvement des systèmes. Il utilise une fonction appelée lagrangian , qui est fonction des coordonnées généralisées du système (positions) et des vitesses généralisées (dérivés temporels des positions). Le lagrangien est défini comme la différence entre les énergies cinétiques et potentielles du système:
L =t - v
2. Euler-Lagrange Equations
Les équations de mouvement pour un système sont dérivées en utilisant les équations Euler-Lagrange :
d / dt (∂l / ∂q̇) - ∂l / ∂q =0
où:
* Q est une coordonnée généralisée
* Q̇ est sa dérivée temporelle (vitesse généralisée)
* ∂ / ∂q représente une différenciation partielle par rapport à q
* ∂ / ∂q̇ représente une différenciation partielle par rapport à Q̇
3. Annulation du point
Dans certaines situations, le Lagrangien peut être écrit sous une forme qui permet une simplification. Par exemple, si le lagrangien ne dépend que des vitesses généralisées au carré (Q̇²) et non directement des vitesses elles-mêmes (Q̇), les équations d'Euler-Lagrange simplifient.
Cette simplification se produit parce que la dérivée par rapport à Q̇ (∂L / ∂Q̇) impliquera un facteur de 2q̇, qui annule le Q̇ dans la dérivée temporelle (d / dt). Cela ne laisse que des termes impliquant le deuxième dérivé de q (q̈), qui est l'accélération.
Exemple:
Considérez un oscillateur harmonique simple avec une énergie potentielle v =(1/2) kx² et l'énergie cinétique t =(1/2) mq². Le lagrangien est:
L =t - v =(1/2) mq̇² - (1/2) kx²
Application de l'équation d'Euler-Lagrange:
d / dt (∂l / ∂q̇) - ∂l / ∂q =0
d / dt (mq̇) + kx =0
mq̈ + kx =0
Il s'agit de l'équation du mouvement familière pour un oscillateur harmonique simple. Remarquez comment le point (Q̇) annule pendant la dérivation.
en résumé:
* L'annulation du point "fait référence à une simplification qui se produit dans la mécanique lagrangienne lorsque le lagrangien ne dépend que des carrés des vitesses généralisées.
* Cette simplification conduit à des équations de mouvement plus simples et peut être particulièrement utile pour les systèmes avec des expressions d'énergie cinétique simples.
N'hésitez pas à vous demander si vous avez d'autres questions!
