1. Identifiez les variables pertinentes
* force (f): La quantité que nous voulons trouver.
* vitesse du jet (v): Une vitesse caractéristique de l'eau.
* zone en coupe transversale du jet (a): Une mesure de la taille du jet.
* densité de l'eau (ρ): Une mesure de la masse par unité de volume d'eau.
2. Exprimer les variables des dimensions fondamentales
* force (f): [M l t⁻²] (masse × longueur × temps⁻²)
* Velocity (v): [L t⁻¹] (longueur × temps⁻¹)
* zone (a): [L²] (longueur²)
* densité (ρ): [M l⁻³] (masse × longueur⁻³)
3. Former un groupe sans dimension
Nous devons trouver une combinaison des variables qui se traduisent par une quantité sans dimension. C'est là que réside le pouvoir de l'analyse dimensionnelle:
Supposons que la force F soit fonction des autres variables:
F =c vᵃ aᵇ ρᶜ
Où:
* C est une constante sans dimension
* A, B et C sont des représentants inconnus
Maintenant, nous allons assimiler les dimensions des deux côtés de l'équation:
[M l t⁻²] =[l t⁻¹] ᵃ [l²] ᵇ [m l⁻³] ᶜ
Simplifiant, nous obtenons:
[M¹ L¹ T⁻²] =[Mᶜ L⁽ᵃ + ²ᵇ-³ᶜ⁾ T⁽⁻ᵃ⁾]
Pour que l'équation soit cohérente dimensionnellement, les exposants de chaque dimension (m, l, t) doivent correspondre des deux côtés. Cela nous donne trois équations:
* m: 1 =c
* l: 1 =A + 2B - 3C
* t: -2 =-a
Résolvant ce système d'équations, nous trouvons:
* a =2
* b =1
* c =1
4. L'expression finale
En remplaçant ces valeurs dans notre équation d'origine, nous obtenons:
F =c v² a ρ
Interprétation
Ce résultat d'analyse dimensionnel nous dit:
* La force exercée par le jet d'eau sur la plaque est directement proportionnelle au carré de la vitesse du jet (V²).
* La force est directement proportionnelle à la zone en coupe transversale du jet (A).
* La force est directement proportionnelle à la densité de l'eau (ρ).
Remarque importante: L'analyse dimensionnelle ne peut pas déterminer la constante sans dimension (C). Cette constante devrait être déterminée par des données expérimentales ou une analyse de mécanique des fluides plus sophistiquée.
