Comprendre les concepts
* Motion harmonique simple: Un type de mouvement périodique où la force de restauration est proportionnelle au déplacement de l'équilibre. Les exemples incluent une masse sur un ressort ou un pendule se balançant avec un petit angle.
* amplitude (a): Le déplacement maximal de l'objet de sa position d'équilibre.
* Velocity (v): Le taux de changement de déplacement.
* conservation de l'énergie: Dans SHM, l'énergie mécanique totale (potentiel + cinétique) reste constante.
Dérivation
1. Conservation de l'énergie: À tout moment de SHM, l'énergie totale (E) est la somme de l'énergie potentielle (PE) et de l'énergie cinétique (KE):
E =pe + ke
2. Énergie potentielle: Au déplacement maximal (amplitude, a), la vitesse est nulle et toute l'énergie est potentielle:
Pe (max) =1/2 * k * a ^ 2 (où k est la constante de ressort)
3. Énergie cinétique: À moitié amplitude (A / 2), l'énergie potentielle est:
Pe (a / 2) =1/2 * k * (a / 2) ^ 2 =1/8 * k * a ^ 2
4. en utilisant la conservation de l'énergie: Puisque l'énergie totale est constante:
E =pe (max) =pe (a / 2) + ke (a / 2)
1/2 * K * A ^ 2 =1/8 * K * A ^ 2 + 1/2 * M * V ^ 2 (où m est la masse)
5. Résolution pour la vitesse: Simplifiez l'équation et résolvez pour V:
* 3/8 * K * A ^ 2 =1/2 * M * V ^ 2
* v ^ 2 =(3/4) * (k / m) * a ^ 2
* v =√ [(3/4) * (k / m) * a ^ 2]
Remarques importantes:
* Fréquence angulaire (ω): Vous pouvez exprimer la vitesse en termes de fréquence angulaire (ω =√ (k / m)):
* v =√ [(3/4) * ω ^ 2 * a ^ 2] =(√3 / 2) * ω * a
* phase: La formule ci-dessus suppose que la masse est à son déplacement maximal lorsque le temps t =0. Si la masse est à une phase différente, vous devrez considérer la nature sinusoïdale du mouvement.
Exemple
Disons qu'une masse de 0,5 kg est attachée à un ressort avec une constante de ressort de 20 n / m. L'amplitude de l'oscillation est de 0,1 m. Pour trouver la vitesse à moitié amplitude:
1. Calculer la fréquence angulaire: ω =√ (k / m) =√ (20 n / m / 0,5 kg) ≈ 6,32 rad / s
2. Calculer la vitesse: v =(√3 / 2) * ω * a =(√3 / 2) * 6,32 rad / s * 0,1 m ≈ 0,55 m / s
Par conséquent, la vitesse de la masse à moitié amplitude est d'environ 0,55 m / s.
