L’ajout d’une règle simple à un jeu de billard idéalisé conduit à une multitude de questions mathématiques intrigantes, ainsi qu’à des applications dans la physique des organismes vivants. Cette semaine, des chercheurs de l'Université d'Amsterdam, dont deux étudiants en maîtrise comme premiers auteurs, ont publié un article dans Physical Review Letters. sur la dynamique fascinante du billard avec mémoire.
Une version idéalisée du jeu de billard fascine les mathématiciens depuis des décennies. La question fondamentale est simple :une fois qu’une boule de billard est jouée, où va-t-elle et où finit-elle ? Supposons que le billard soit parfait :les murs rebondissent parfaitement, il n’y a aucun autre objet sur la table, le mouvement de la balle se fait sans friction, etc. Alors le ballon ne « finira » vraiment nulle part; cela continuera pour toujours.
Mais est-ce que cela revient un jour là où il a commencé ? Est-ce qu'il finit par visiter chaque partie de la table ? Lorsque l'on change légèrement la direction de la balle, ou son point de départ, le chemin qu'elle suit ressemble-t-il au précédent ?
Toutes ces questions s’avèrent très intrigantes d’un point de vue mathématique. Leurs réponses ne sont pas toujours connues, surtout lorsque la forme du billard n'est pas simple, comme un carré ou un rectangle. Par exemple, sur les billards triangulaires dont les angles sont inférieurs à 100 degrés, on sait qu'il existe toujours des trajectoires périodiques, des trajectoires que la balle peut suivre et qui reviennent sur elles-mêmes.
Cela peut être prouvé mathématiquement. Maintenant, changez l'un des coins en un angle légèrement plus grand, et aucun mathématicien ne connaît plus la réponse.
Les parties de billard idéalisées ne sont pas seulement un passe-temps favori des mathématiciens. Ils ont également un impact profond sur la physique et d’autres sciences. De nombreuses questions sur le billard peuvent être formulées comme des questions sur le chaos :les conditions initiales similaires d’un système dynamique – qu’il s’agisse d’une boule sur une table de billard, d’une molécule dans un gaz ou d’un oiseau dans un troupeau – conduisent-elles toujours à des résultats finaux similaires ? résultats ?
Dans une recherche menée à l'Université d'Amsterdam, une équipe de physiciens a réalisé qu'en modifiant légèrement les règles du jeu de billard, le nombre d'applications dans le monde réel augmente encore davantage.
Mazi Jalaal, co-auteur de la publication et responsable du groupe dans lequel la recherche a été réalisée, explique :« Dans la nature, de nombreux organismes vivants ont une forme externe de mémoire. Par exemple, ils laissent des traces pour se rappeler où ils ont été. Ils peuvent ensuite utiliser ces informations pour suivre à nouveau le même itinéraire ou, par exemple, lorsqu'ils recherchent de la nourriture, pour ne plus explorer la même région."
Cette dernière option a conduit les chercheurs à une idée intéressante :et si nous ajoutions une règle au jeu de billard, à savoir que la balle ne doit jamais croiser sa propre trajectoire ? Le résultat est que la taille effective de la table de billard devient de plus en plus petite. En fait, la balle finit par être piégée par sa propre trajectoire.
Nouvelles questions intrigantes
L’effet de piégeage rend le système encore plus intrigant. Même les questions simples deviennent désormais extrêmement fascinantes. Quelle distance parcourt une balle avant d’être piégée ? La réponse varie, tant sur la forme de la table que sur le point de départ et la direction de la balle.
Parfois, la balle parcourt une longueur qui n'est que de quelques fois la taille de la table, parfois elle peut parcourir 100 fois cette longueur avant d'être piégée. La question de savoir où la balle finit par se retrouver dans son état piégé est également une question complexe ; répéter l'expérience sur un ordinateur des millions de fois, à chaque fois avec une position de départ et une vitesse légèrement différentes, conduit à de magnifiques modèles de configurations finales.
L'image en haut de ce texte montre certains de ces beaux exemples. Il est intéressant de noter que les systèmes dynamiques qui en résultent peuvent être chaotiques. Changer légèrement la position de départ ou la vitesse de la balle qui s'évite automatiquement peut la coincer à un point complètement différent du billard.
De plus, contrairement à ce qui se passe sur une table de billard ordinaire, la balle qui s’évite d’elle-même n’a pas la même probabilité de se retrouver n’importe où. Certaines régions sont plus susceptibles que d’autres. Pour expliquer et prouver toutes ces caractéristiques, les mathématiciens ont certainement du pain sur la planche.
Une particularité intéressante de la publication est que ses deux premiers auteurs sont des étudiants en master. Jalaal ajoute :« L'idée d'un « billard avec mémoire » est suffisamment simple et suffisamment nouvelle pour que son étude ne nécessite pas des années d'expérience. Thijs et Stijn ont fait un excellent travail en s'appropriant le matériel et en trouvant des moyens intelligents d'étudier tous ces éléments. de nouveaux problèmes ouverts. Je suis très heureux qu'ils puissent déjà être les auteurs principaux d'une publication."
Les résultats ne sont que les premières étapes de ce qui pourrait être un tout nouveau domaine de recherche. Non seulement il existe de nombreuses questions mathématiques intéressantes qui attendent désormais une réponse; les applications en physique, y compris en biophysique, sont également infinies.
Jalaal déclare :« Le concept de piégeage mérite d'être exploré, également dans des systèmes réels. Par exemple, nous savons que les moisissures visqueuses unicellulaires utilisent des chemins auto-évitants. le font-ils ? Ou disposent-ils de mécanismes intelligents pour éviter que cela ne se produise ? L'utilisent-ils pour améliorer leurs stratégies de recherche de nourriture ?
"Les résultats nous aideraient à mieux comprendre ces systèmes biologiques, et peut-être même à intégrer les leçons que nous avons apprises pour optimiser cette forme de billard à mémoire pour une utilisation dans les robots."
Plus d'informations : Thijs Albers et al, Billard avec mémoire spatiale, Lettres de révision physique (2024). DOI :10.1103/PhysRevLett.132.157101. Sur arXiv :DOI:10.48550/arxiv.2307.01734
Informations sur le journal : Lettres d'examen physique , arXiv
Fourni par l'Université d'Amsterdam
