La matrice d'adjacence d'un réseau (à gauche), et trois implantations différentes de ce réseau dans l'espace (à droite). La matrice d'adjacence d'un réseau enregistre des informations sur la connectivité du réseau. Par exemple, dans le réseau de la figure, les nœuds A et B sont reliés par un lien, par conséquent, l'élément de la matrice d'adjacence à l'intersection de la ligne A et de la colonne B est un. De la même manière, les nœuds A et C ne sont pas reliés par un lien, par conséquent, l'élément de la matrice d'adjacence à l'intersection de la ligne A et de la colonne C est zéro. Les deux premiers plongements du réseau décrits par la matrice d'adjacence à gauche sont isotopiques l'un par rapport à l'autre, car ils peuvent être transformés l'un dans l'autre par simple " aplatissement " de l'encastrement, sans avoir besoin de couper un lien ouvert. D'autre part, le plongement à droite est non isotopique aux deux autres plongements, car pour le transformer en les deux autres, au moins un maillon (le maillon rouge par exemple) doit être coupé pour laisser passer d'autres maillons. Crédit :Liu, Dehmamy &Barabási.
La structure et les fonctions de nombreux réseaux physiques, y compris le cerveau humain, le système vasculaire et d'autres réseaux biologiques, dépendent souvent de leur disposition tridimensionnelle et géométrique. Distinguer des réseaux physiques avec des connexions identiques mais des dispositions géométriques différentes, cependant, peut être très difficile.
Des chercheurs de la Northeastern University ont récemment introduit une construction théorique appelée isotopie de réseau qui pourrait aider les scientifiques à différencier les réseaux physiques. L'isotopie de réseau offre un outil de classification qui décrit des classes de dispositions de réseau 3D qui peuvent être transformées les unes dans les autres sans croisement de liens.
"Notre projet est parti d'une curiosité pour l'agencement des réseaux, " Yanchen Liu, l'un des chercheurs qui a mené l'étude, dit Phys.org. "Il existe de nombreux réseaux imprimés en 3D dans notre bureau qui ont été étudiés dans divers projets en laboratoire. En examinant ces réseaux, on s'est demandé :Si pour un réseau donné (câblage fixe des liens) il existe une infinité de manières de placer les nœuds et les liens dans l'espace 3-D, comment savoir si deux configurations d'un même réseau sont identiques ou différentes ? De plus, comment définir les similitudes entre les configurations de réseau et si deux configurations sont différentes, comment devrions-nous mesurer le niveau de différence entre eux ? »
Peu de temps après avoir commencé à mener leurs recherches, Liu et ses collègues se sont rendu compte qu'il existe deux manières principales pour lesquelles les dispositions géométriques du réseau peuvent différer les unes des autres. Le premier d'entre eux dépend du degré d'étirement de la configuration d'un réseau, tandis que le second résulte de ce qu'on appelle le croisement de liens (c'est-à-dire, liens qui se croisent).
Trois plongements non isotopiques différents du même réseau en treillis. L'encastrement de gauche est démêlé; l'encastrement au milieu est plus emmêlé par rapport au premier, et le troisième encastrement est le plus emmêlé. Leur niveau d'enchevêtrement peut être quantifié par le Graph Linking Number. Crédit :Liu, Dehmamy &Barabási.
"Le premier type de différence est trivial, mais le deuxième type de différence est intrigant, " expliqua Liu. " Des questions similaires ont été étudiées dans la théorie des nœuds, qui est un champ dédié aux nœuds formés par une ou plusieurs courbes fermées."
L'intégration d'un réseau physique (c'est-à-dire, layout) est essentiellement une description de la façon dont ses nœuds et ses liens sont assemblés dans l'espace. Dans leur papier, Liu et ses collègues ont introduit un concept appelé isotopie d'intégration de réseau qui peut être utilisé pour distinguer les différentes intégrations possibles d'un réseau donné dans un espace 3-D.
"Si deux plongements de réseau sont isotopiques l'un par rapport à l'autre, cela signifie qu'ils peuvent être étirés les uns dans les autres sans avoir à couper un lien pour laisser passer d'autres liens, " dit Liu. " D'un autre côté, si deux plongements de réseau ne sont pas isotopiques l'un par rapport à l'autre, cela signifie qu'ils ne peuvent jamais être transformés en continu l'un dans l'autre sans couper les liens."
La notion d'isotopie de réseau, telle qu'elle est définie par cette équipe de chercheurs, peut être utilisé pour mesurer le degré d'enchevêtrement des différentes intégrations de réseaux, une mesure appelée le nombre de liaison graphique. De façon intéressante, Liu et ses collègues ont découvert que cette mesure est également corrélée à l'énergie élastique d'un réseau.
On observe que l'énergie élastique (E) d'un plongement de réseau est linéairement corrélée à son Graph Linking Number (G). L'énergie élastique d'un plongement de réseau est proportionnelle à la longueur totale de tous les liens. La relation linéaire entre E et G peut s'expliquer par le fait que chaque augmentation de G étire les liens dans le plongement du réseau, qui à son tour augmente E, et la quantité d'augmentation d'énergie causée par chaque enchevêtrement (chaque enchevêtrement fait augmenter G de un) est quantifiée et constante. Crédit :Liu, Dehmamy &Barabási.
De nombreux systèmes physiques peuvent être décrits comme des réseaux, dont une part importante sont des réseaux physiques. Les concepts théoriques introduits par les chercheurs sont des outils efficaces pour étudier les propriétés et les caractéristiques géométriques de ces systèmes.
« Il y a trois réalisations importantes dans ce document, À mon avis, " a déclaré Liu. " La première est que nous avons défini l'isotopie d'intégration de réseau, qui est une extension de l'isotopie des nœuds de la théorie des nœuds aux plongements de réseau. La seconde est que nous avons inventé le graphe reliant le nombre, une mesure utile du niveau d'enchevêtrement des intégrations de réseau. Finalement, nous avons constaté que le nombre de graphe reliant le nombre d'un réseau est corrélé à l'énergie élastique de ce réseau."
Liu et ses collègues ont utilisé leurs résultats pour développer un modèle statistique qui décrit la formation d'enchevêtrements dans un réseau physique. À l'avenir, ce modèle pourrait être utilisé pour évaluer dans quelle mesure la disposition 3D d'un système physique est enchevêtrée.
Dans leur récent article, par exemple, les chercheurs l'ont utilisé pour examiner l'enchevêtrement de nombreux systèmes physiques, y compris le cerveau de la souris. Comme toutes les constructions théoriques présentées dans cet article peuvent être appliquées à une grande variété de réseaux physiques, ils pourraient à terme soutenir la recherche en physique axée sur un large éventail de sujets.
"Nous poursuivons maintenant l'étude des réseaux physiques, " dit Liu. " Actuellement, Je travaille sur un réseau physique spécifique :le réseau cérébral larvaire de la mouche des fruits, qui est un réseau formé de neurones intégrés dans l'espace 3-D. Nous sommes particulièrement intéressés par les connexions entre la physicalité de ce réseau (son intégration) et ses propriétés structurelles (comment les neurones sont connectés via des câblages neuronaux)."
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