(Phys.org)—Comme de nombreux puzzles mathématiques, le problème de la sauterelle est simple à énoncer mais difficile à résoudre :une sauterelle se pose en un point aléatoire sur une pelouse de la zone 1, puis saute une fois, une distance fixe, dans une direction aléatoire. Quelle forme doit avoir la pelouse afin de maximiser les chances que la sauterelle reste sur la pelouse après avoir sauté ?

Une première impression peut être que la pelouse doit avoir la forme d'un cercle, au moins lorsque la distance à laquelle la sauterelle saute est faible. Cependant, Olga Goulko et Adrian Kent, les deux physiciens qui ont introduit le problème de la sauterelle dans un nouvel article, ont prouvé mathématiquement qu'une pelouse en forme de disque n'est pas optimale quelle que soit la distance.

Au lieu, ils ont découvert grâce à des simulations numériques que la forme optimale de la pelouse prend une variété de formes complexes pour différentes distances de saut, comme une forme de roue dentée pour des distances inférieures à 1/π ^1/2 (le rayon d'un cercle d'aire 1, soit environ 0,56), tandis que pour de plus grandes distances, la pelouse optimale se compose de morceaux déconnectés. Souvent, mais pas toujours, ces formes optimales possèdent un certain type de symétrie.

Motivé par la physique

En plus d'être un problème de géométrie intéressant, le problème des sauterelles est également étroitement lié à la recherche en physique quantique et peut avoir diverses applications technologiques. En particulier, le problème de la sauterelle est lié aux inégalités de Bell, qui montre célèbre que, contrairement aux modèles physiques classiques, la théorie quantique n'obéit pas au réalisme local. Un excellent exemple de la violation du réalisme local est vu dans l'intrication quantique, dans lequel deux systèmes intriqués distants présentent des corrélations qui ne peuvent être expliquées par aucun modèle obéissant au réalisme local.

Cette connexion aux inégalités de Bell est, En réalité, ce qui a motivé à l'origine Goulko et Kent à proposer le problème de la sauterelle. Un problème ouvert en physique concernant les inégalités de Bell est de déterminer les limites optimales qui sont violées par la théorie quantique lorsque les corrélations quantiques sont mesurées sur une sphère à des angles compris entre 0 et 90 degrés. Il s'avère que ce problème de détermination des limites optimales est équivalent au problème de détermination de la forme de la pelouse du problème des sauterelles lorsque la pelouse est un sol sphérique plutôt que plat. Dans la version sphérique du problème de la sauterelle, la distance à laquelle la sauterelle saute sur un sol plat est remplacée par l'angle auquel elle saute à travers la sphère.

Dans leur papier, qui est publié dans un récent numéro du Actes de la Royal Society A , Goulko et Kent n'ont analysé que la version planaire du problème de la sauterelle, bien qu'ils s'attendent à ce qu'il ne soit pas trop difficile d'appliquer les mêmes techniques numériques au cas sphérique. Puis, en tenant compte de certaines contraintes supplémentaires, il peut être possible de résoudre enfin le problème des bornes optimales des inégalités de Bell.

« Nous prévoyons de travailler sur les versions sphériques du problème de la sauterelle concernant les inégalités de Bell, et attendons que nos méthodes fonctionnent là-bas, " Kent a dit Phys.org .

Nouvelle frontière

Comme l'expliquent les physiciens, l'une des choses surprenantes à propos du problème des sauterelles est que rien de tel n'a jamais été proposé auparavant. Bien que l'idée de base soit assez simple pour que le problème ait pu être posé par l'ancien mathématicien grec Euclide, qui a jeté les bases de la géométrie moderne, les chercheurs n'ont connaissance d'aucune version antérieure du problème, que ce soit à l'époque ancienne ou moderne.

« Il est bon de se rappeler que, même dans un domaine aussi vieux que la géométrie, on peut encore trouver des questions simples et originales qui ont des réponses surprenantes et ouvrent de nouvelles pistes de recherche, ", a déclaré Kent.

En tant que tout nouveau problème, il y a un nombre infini de directions de recherche futures à prendre. Par exemple, les physiciens suggèrent de permettre à la sauterelle de faire plusieurs sauts, ou exigeant que la sauterelle marche et reste sur la pelouse à tous les points de son chemin (une variation qu'ils appellent le "problème des fourmis"). D'autres variantes possibles incluent la généralisation à des dimensions supérieures, analyser des surfaces de gazon autres que des sphères et des plans, considérant une variation du problème avec deux espèces différentes de graines de gazon qui peuvent se chevaucher dans la même région (ce qui est particulièrement pertinent pour les inégalités de Bell), et en imposant des restrictions supplémentaires aux solutions possibles.

Bien sûr, ces questions ne concernent pas vraiment les sauterelles et les pelouses, car la structure sous-jacente offre un moyen de modéliser diverses situations du monde réel. Un exemple que les chercheurs soulignent est celui des réactions nucléaires en chaîne. Dans une réaction en chaîne, une particule de haute énergie impacte un noyau atomique aléatoire, le faisant subir une fission, qui produit une autre particule de haute énergie qui parcourt une certaine distance pour frapper un autre noyau aléatoire, et le processus se répète. En modélisant cette situation avec le problème de la sauterelle, la surface de pelouse optimale correspond à la vitesse de réaction initiale maximale, qui maximise le nombre de noyaux qui participent à la réaction en chaîne.

Une autre application potentielle du problème de la sauterelle réside dans la modélisation des protocoles de communication quantique, que les chercheurs expliquent, peut être considéré comme un modèle de sauterelle dans lequel une partie doit choisir quel algorithme (forme de pelouse) utiliser pour communiquer avec une deuxième partie.

Et enfin, les chercheurs suggèrent qu'il peut être intéressant de se pencher sur les origines des formes de la pelouse elles-mêmes, comme certains des motifs de pelouse ressemblent à des motifs qui émergent à plusieurs reprises dans la nature, comme dans les fleurs, coquillages, et rayures animales. Conformément à la théorie de la morphogenèse proposée par Alan Turing, ces modèles peuvent apparaître comme des solutions optimales pour des raisons chimiques, ce qui peut aider à expliquer les formes diverses et complexes des pelouses qui apparaissent dans le problème des sauterelles.

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