Lorsque vous commencez avec trois équations et trois inconnues (variables), vous pouvez penser que vous avez assez d'informations à résoudre pour toutes les variables. Toutefois, lorsque vous résolvez un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode d'élimination, vous pouvez constater que le système n'est pas suffisamment déterminé pour trouver une réponse unique et qu'un nombre infini de solutions est possible. Cela se produit lorsque l'information contenue dans l'une des équations du système est redondante avec les informations contenues dans les autres équations.
Exemple 2x2
3x + 2y = 5 6x + 4y = 10 Ce système des équations est clairement redondant. Vous pouvez créer une équation à partir de l'autre en multipliant simplement par une constante. En d'autres termes, ils véhiculent la même information. Bien qu'il y ait deux équations pour les deux inconnues, x et y, la solution de ce système ne peut pas être réduite à une valeur pour x et une valeur pour y. (x, y) = (1,1) et (5 /3,0) les résolvent, tout comme beaucoup d'autres solutions. C'est le genre de "problème", cette insuffisance d'information, qui conduit aussi à un nombre infini de solutions dans des systèmes d'équations plus grands.
Exemple 3x3
x + y + z = 10 x-y + z = 0 x _ + _ z = 5 [Les traits de soulignement sont simplement utilisés pour maintenir l'espacement.] Par la méthode d'élimination, éliminer x de la deuxième rangée en soustrayant la deuxième rangée de la première, en donnant x + y + z = 10 _2y = 10 x_ + z = 5 Éliminer x de la troisième rangée en soustrayant la troisième rangée de la première. x + y + z = 10 _2y = 10 y = 5 Clairement les deux dernières équations sont équivalentes. y est égal à 5, et la première équation peut être simplifiée en éliminant y. x + 5 + z = 10 y __ = 5 ou x + z = 5 y = 5 Notez que la méthode d'élimination ne produira pas ici une belle forme triangulaire, comme c'est le cas lorsqu'il existe une solution unique. Au lieu de cela, la dernière équation (sinon plus) sera elle-même absorbée dans les autres équations. Le système est maintenant de trois inconnues et seulement deux équations. Le système est appelé "sous-déterminé", car il n'y a pas assez d'équations pour déterminer la valeur de toutes les variables. Un nombre infini de solutions est possible.
Comment écrire la solution infinie
La solution infinie pour le système ci-dessus peut être écrite en termes d'une variable. Une façon de l'écrire est (x, y, z) = (x, 5,5-x). Puisque x peut prendre un nombre infini de valeurs, la solution peut prendre un nombre infini de valeurs.
