Face it: Les preuves ne sont pas faciles. Et en géométrie, les choses semblent empirer, car il faut maintenant transformer les images en énoncés logiques, en tirant des conclusions à partir de simples dessins. Les différents types de preuves que vous apprenez à l'école peuvent être accablants au début. Mais une fois que vous comprenez chaque type, vous trouverez beaucoup plus facile de comprendre quand et pourquoi utiliser différents types de preuves dans la géométrie.
La flèche
La preuve directe fonctionne comme une flèche. Vous commencez avec les informations données et construisez dessus, en allant dans le sens de l'hypothèse que vous souhaitez prouver. En utilisant la preuve directe, vous utilisez des inférences, des règles de la géométrie, des définitions de formes géométriques et de la logique mathématique. La preuve directe est le type de preuve le plus standard et, pour de nombreux étudiants, le style de preuve d'accès pour résoudre un problème géométrique. Par exemple, si vous savez que le point C est le milieu de la ligne AB, vous pouvez prouver que AC = CB en utilisant la définition du point milieu: Le point qui tombe à égale distance de chaque extrémité du segment de ligne. Cela fonctionne sur la définition du point médian et compte comme une preuve directe.
The Boomerang
La preuve indirecte est comme un boomerang; cela vous permet d'inverser le problème. Au lieu de travailler uniquement à partir des énoncés et des formes qui vous sont donnés, vous changez le problème en prenant la déclaration que vous souhaitez prouver et en supposant que ce n'est pas vrai. De là, vous montrez que cela ne peut pas être vrai, ce qui est suffisant pour prouver que c'est vrai. Bien que cela semble confus, il peut simplifier de nombreuses preuves qui semblent difficiles à prouver par une preuve directe. Par exemple, imaginez que vous ayez une ligne horizontale AC passant par le point B, et au point B une ligne perpendiculaire à AC avec le point final D, appelée ligne BD. Si vous voulez prouver que la mesure de l'angle ABD est de 90 degrés, vous pouvez commencer par considérer ce que cela signifierait si la mesure de l'ABD n'était pas de 90 degrés. Cela vous conduirait à deux conclusions impossibles: AC et BD ne sont pas perpendiculaires et AC n'est pas une ligne. Mais les deux étaient des faits énoncés dans le problème, ce qui est contradictoire. C'est suffisant pour prouver que ABD est à 90 degrés.
Le Launching Pad
Parfois, vous rencontrez un problème qui vous demande de prouver que quelque chose n'est pas vrai. Dans un tel cas, vous pouvez utiliser le pavé de lancement pour vous débarrasser d'un traitement direct du problème, en fournissant un contre-exemple pour montrer que quelque chose n'est pas vrai. Lorsque vous utilisez un contre-exemple, vous n'avez besoin que d'un seul bon contre-exemple pour prouver votre point, et la preuve sera valide. Par exemple, si vous avez besoin de valider ou d'invalider l'instruction "Tous les trapèzes sont des parallélogrammes", vous n'avez qu'à fournir un exemple de trapèze qui n'est pas un parallélogramme. Vous pourriez le faire en traçant un trapèze avec seulement deux côtés parallèles. L'existence de la forme que vous venez de dessiner réfuterait l'énoncé "Tous les trapèzes sont des parallélogrammes."
L'organigramme
Tout comme la géométrie est une mathématique visuelle, l'organigramme, ou preuve de flux, est un type visuel de preuve. Dans une épreuve d'écoulement, vous commencez par écrire ou dessiner toutes les informations que vous connaissez les unes à côté des autres. De là, faites des inférences, en les écrivant sur la ligne ci-dessous. En faisant cela, vous "empilez" vos informations, en faisant quelque chose comme une pyramide à l'envers. Vous utilisez l'information que vous avez pour faire plus d'inférences sur les lignes ci-dessous jusqu'à ce que vous obteniez au fond, une seule déclaration qui prouve le problème. Par exemple, vous pourriez avoir une ligne L qui traverse le point P de la ligne MN, et la question vous demande de prouver MP = PN étant donné que L bissecte MN. Vous pouvez commencer en écrivant l'information donnée, en écrivant "L bisects MN à P" en haut. En dessous, écrivez l'information qui suit de l'information donnée: Les bisections produisent deux segments congruents d'une ligne. À côté de cette déclaration, écrivez un fait géométrique qui vous aidera à obtenir la preuve; pour ce problème, le fait que les segments de ligne congruents sont égaux en longueur aide. Ecrivez ça. En dessous de ces deux informations, vous pouvez écrire la conclusion qui suit naturellement: MP = PN.
