1. Définir les coordonnées de Jacobi
Pour un système de 4 atomes, nous avons besoin de trois ensembles de coordonnées de Jacobi:
* premier ensemble:
notre
* $ \ mathbf {r} _1 =\ frac {m_1 \ mathbf {r} _1 + m_2 \ mathbf {r} _2} {m_1 + m_2} $ (centre de masse des atomes 1 et 2)
* Deuxième ensemble:
* $ \ mathbf {r} _2 =\ mathbf {r} _3 - \ mathbf {r} _1 $ (vecteur reliant le centre de masse des atomes 1 et 2 à l'atome 3)
* $ \ mathbf {r} _2 =\ frac {(m_1 + m_2) \ mathbf {r} _1 + m_3 \ mathbf {r} _3} {m_1 + m_2 + m_3} $ (centre de masse des atomes 1, 2 et 3)
* troisième ensemble:
* $ \ mathbf {r} _3 =\ mathbf {r} _4 - \ mathbf {r} _2 $ (vecteur reliant le centre de masse des atomes 1, 2 et 3 à l'atome 4)
* $ \ mathbf {r} _3 =\ frac {(m_1 + m_2 + m_3) \ mathbf {r} _2 + m_4 \ mathbf {r} _4} {m_1 + m_2 + m_3 + m_4} $ (centre de la masse des 4 atomes))
2. Exprimez l'énergie cinétique en termes de coordonnées de Jacobi
L'énergie cinétique du système est:
`` '
T =(1/2) m_1 v_1 ^ 2 + (1/2) m_2 v_2 ^ 2 + (1/2) m_3 v_3 ^ 2 + (1/2) m_4 v_4 ^ 2
`` '
où v représente la vitesse de chaque atome.
Maintenant, nous devons exprimer les vitesses ( v ) En termes de dérivés de temps des coordonnées de Jacobi ( r et r ). Cela peut être fait en utilisant la règle de différenciation de la chaîne.
Par exemple, pour l'atome 1:
`` '
v_1 =d / dt (r_1) =d / dt (r_2 - r_1) =v_2 - v_1
`` '
De même, vous pouvez exprimer les autres vitesses en termes de dérivés des coordonnées de Jacobi.
3. Substituer et simplifier
Remplacez les expressions des vitesses en termes de coordonnées de Jacobi dans l'équation d'énergie cinétique. Après une algèbre et une simplification, vous obtiendrez:
`` '
T =(1/2) μ_1 (d / dt r_1) ^ 2 + (1/2) μ_2 (d / dt r_2) ^ 2 + (1/2) μ_3 (d / dt r_3) ^ 2 + (1/2) m (d / dt r_3) ^ 2
`` '
où:
* μ_1 =(m_1 * m_2) / (m_1 + m_2) est la masse réduite des atomes 1 et 2
* μ_2 =(m_1 + m_2) * m_3 / (m_1 + m_2 + m_3) est la masse réduite du centre de masse des atomes 1 et 2 et l'atome 3
* μ_3 =(m_1 + m_2 + m_3) * m_4 / (m_1 + m_2 + m_3 + m_4) est la masse réduite du centre de masse des atomes 1, 2 et 3 et l'atome 4
* m =m_1 + m_2 + m_3 + m_4 est la masse totale du système
4. Exprime comme l'opérateur d'énergie cinétique
L'opérateur d'énergie cinétique en mécanique quantique est obtenu en remplaçant l'élan classique par son équivalent mécanique quantique:
* p =-iħ∇
Par conséquent, l'opérateur d'énergie cinétique dans les coordonnées de Jacobi devient:
`` '
T̂ =- (ħ ^ 2 / 2μ_1) ∇_r1 ^ 2 - (ħ ^ 2 / 2μ_2) ∇_r2 ^ 2 - (ħ ^ 2 / 2μ_3) ∇_r3 ^ 2 - (ħ ^ 2 / 2m) ∇_r3 ^ 2
`` '
où ∇_r1, ∇_r2, ∇_r3 et ∇_r3 sont les opérateurs de gradient par rapport aux coordonnées de Jacobi.
Points clés:
* Les coordonnées de Jacobi séparent le centre du mouvement de la masse des mouvements relatifs des atomes. Cela simplifie la description du système et réduit la complexité des calculs.
* Les masses réduites apparaissent dans l'opérateur d'énergie cinétique, reflétant le fait que les mouvements relatifs des atomes sont influencés par les masses des atomes individuels.
* Le dernier terme de l'opérateur représente l'énergie cinétique du centre de masse, qui est généralement ignorée dans la spectroscopie moléculaire car elle est une constante pour une molécule donnée.
Faites-moi savoir si vous souhaitez une explication plus détaillée de toute étape spécifique!
