Comprendre les concepts
* Motion harmonique simple (SHM): Un type de mouvement périodique où la force de restauration est proportionnelle au déplacement de l'équilibre. Les exemples incluent une masse sur un ressort ou un pendule qui se balance avec de petits angles.
* énergie cinétique (KE): L'énergie du mouvement, donnée par Ke =(1/2) mv², où m est masse et v est la vitesse.
* Énergie potentielle (PE): L'énergie stockée en raison de la position ou de la configuration d'un objet. Dans SHM, l'énergie potentielle est souvent due à une compression ou une extension d'un ressort, et elle est donnée par PE =(1/2) kx², où K est la constante de ressort et x est le déplacement de l'équilibre.
Dérivation
1. Egal Energies: On nous donne que ke =pe.
2. Expressions de substitution: Remplacez les équations à l'énergie cinétique et potentielle:
(1/2) mv² =(1/2) kx²
3. Simplifiez: Annuler les termes (1/2).
4. Reliez la vitesse et le déplacement: Dans SHM, la vitesse (V) est liée au déplacement (x) et à la fréquence angulaire (ω) par l'équation:
v =ω√ (a² - x²) où a est l'amplitude de l'oscillation.
5. substitut à la vitesse: Remplacez l'équation de vitesse dans l'équation énergétique:
m (ω√ (a² - x²)) ² =kx²
6. Résoudre pour le déplacement (x): Simplifier et résoudre pour x:
MΩ² (a² - x²) =kx²
Mω²a² =(K + Mω²) x²
x² =(Mω²a²) / (k + MΩ²)
x =√ [(Mω²a²) / (k + MΩ²)]
7. Relation entre ω et k / m: Rappelons que la fréquence angulaire (ω) en SHM est liée à la constante de ressort (k) et à la masse (m) par:
ω =√ (k / m)
8. substitut à ω: Remplacez l'expression de ω dans l'équation de déplacement:
x =√ [(m (k / m) a²) / (k + (k / m) m)]
x =√ [(ka²) / (2k)]
x =√ (a² / 2)
9. Résultat final: Par conséquent, le déplacement (x) d'un oscillateur harmonique simple lorsque ses énergies cinétiques et potentielles sont égales est:
x =a / √2
Interprétation
Ce résultat montre que lorsque les énergies cinétiques et potentielles sont égales en mouvement harmonique simple, le déplacement est égal à l'amplitude de l'oscillation divisée par la racine carrée de 2. En d'autres termes, le déplacement est d'environ 70,7% de l'amplitude.
