Imaginez que vous maniez un canon dans le but d’abattre les murs d’un château ennemi afin que votre armée puisse entrer et revendiquer la victoire. Si vous savez à quelle vitesse la balle se déplace lorsqu'elle quitte le canon et que vous savez à quelle distance les murs sont éloignés, quel angle de lancement devez-vous utiliser pour tirer avec succès sur le mur?

Ceci est un exemple d'un problème de mouvement de projectile, et vous pouvez résoudre ce problème et bien d'autres en utilisant les équations d'accélération constante de la cinématique et de l'algèbre de base.

Mouvement de projectile
est la façon dont les physiciens décrivent le mouvement bidimensionnel où la seule accélération subie par l'objet en question est l'accélération constante vers le bas due à la gravité.

À la surface de la Terre, l'accélération constante a
est égale à g
\u003d 9,8 m /s ^{2, et un objet en mouvement de projectile est en chute libre
avec cela comme seule source d'accélération. Dans la plupart des cas, il prendra le chemin d'une parabole, de sorte que le mouvement aura à la fois une composante horizontale et verticale. Bien que cela aurait un effet (limité) dans la vie réelle, heureusement, la plupart des problèmes de mouvement des projectiles de physique du secondaire ignorent l'effet de la résistance de l'air.}

Vous pouvez résoudre les problèmes de mouvement des projectiles en utilisant la valeur de g
et quelques autres informations de base sur la situation actuelle, telles que la vitesse initiale du projectile et la direction dans laquelle il se déplace. Apprendre à résoudre ces problèmes est essentiel pour réussir la plupart des cours d'introduction à la physique, et il vous présente également les concepts et techniques les plus importants dont vous aurez besoin dans les cours ultérieurs.
Projectile Motion Equations

Les équations pour projectile le mouvement sont les équations d'accélération constante de la cinématique, car l'accélération de la gravité est la seule source d'accélération que vous devez considérer. Les quatre équations principales dont vous aurez besoin pour résoudre tout problème de mouvement de projectile sont:
v \u003d v_0 + at \\\\ s \u003d \\ bigg (\\ frac {v + v_0} {2} \\ bigg) t \\\\ s \u003d v_0t + \\ frac {1} {2} à ^ 2 \\\\ v ^ 2 \u003d v_0 ^ 2 + 2as

Ici, v
signifie vitesse, v
_{0 est la vitesse initiale, a
est l'accélération (qui est égale à l'accélération vers le bas de g
dans tous les problèmes de mouvement de projectile), s
est le déplacement (à partir du position initiale) et comme toujours, vous avez le temps, t
.}

Ces équations ne sont techniquement que pour une dimension, et elles pourraient vraiment être représentées par des quantités vectorielles (y compris la vitesse v
, vitesse initiale v
_{0 et ainsi de suite), mais en pratique, vous pouvez simplement utiliser ces versions séparément, une fois dans la direction x
et une fois dans la y
-direction (et si vous avez déjà eu un problème en trois dimensions, dans la z
-direction aussi).}

Il est important de se rappeler que ceux-ci ne sont utilisés que pour la constante accélération, ce qui les rend pe parfait pour décrire des situations où l'influence de la gravité est la seule accélération, mais ne convient pas à de nombreuses situations du monde réel où des forces supplémentaires doivent être prises en compte.

Pour les situations de base, c'est tout ce dont vous aurez besoin pour décrire le mouvement d'un objet, mais si nécessaire, vous pouvez incorporer d'autres facteurs, tels que la hauteur à partir de laquelle le projectile a été lancé ou même les résoudre pour le point le plus haut du projectile sur son chemin.
Résolution des problèmes de mouvement du projectile

Maintenant que vous avez vu les quatre versions de la formule de mouvement de projectile que vous devrez utiliser pour résoudre des problèmes, vous pouvez commencer à réfléchir à la stratégie que vous utilisez pour résoudre un problème de mouvement de projectile.

L'approche de base consiste à diviser le problème en deux parties: une pour le mouvement horizontal et une pour le mouvement vertical. Ceci est techniquement appelé la composante horizontale et la composante verticale, et chacun a un ensemble correspondant de quantités, telles que la vitesse horizontale, la vitesse verticale, le déplacement horizontal, le déplacement vertical et ainsi de suite.

Avec cette approche, vous pouvez utilisez les équations cinématiques, notant que le temps t
est le même pour les composantes horizontales et verticales, mais des choses comme la vitesse initiale auront différentes composantes pour la vitesse verticale initiale et la vitesse horizontale initiale.

La chose cruciale à comprendre est que pour un mouvement bidimensionnel, tout
angle de mouvement peut être décomposé en une composante horizontale et une composante verticale, mais lorsque vous faites cela, il y aura une version horizontale de l'équation en question et une version verticale.

Négliger les effets de la résistance de l'air simplifie massivement les problèmes de mouvement de projectile parce que la direction horizontale n'a jamais aucune accélération dans un mouvement de projectile (libre chute), car l'influence de la gravité n'agit que verticalement (c'est-à-dire vers la surface de la Terre).

Cela signifie que la composante de la vitesse horizontale n'est qu'une vitesse constante et que le mouvement ne s'arrête que lorsque la gravité apporte le projectile jusqu'au niveau du sol. Cela peut être utilisé pour déterminer le temps de vol, car il dépend entièrement du mouvement de direction y
et peut être calculé entièrement en fonction du déplacement vertical (c'est-à-dire le temps t
lorsque le déplacement vertical est nul vous indique l'heure du vol).

[insérer des diagrammes et des exemples]
Trigonométrie dans les problèmes de mouvement de projectiles

Si le problème en question vous donne un angle de lancement et une vitesse initiale, vous devrez utiliser la trigonométrie pour trouver les composantes de vitesse horizontale et verticale. Une fois que vous avez fait cela, vous pouvez utiliser les méthodes décrites dans la section précédente pour réellement résoudre le problème.

Essentiellement, vous créez un triangle rectangle avec l'hypoténuse inclinée à l'angle de lancement ( θ
) et l'amplitude de la vitesse en tant que longueur, puis le côté adjacent est la composante horizontale de la vitesse et le côté opposé est la vitesse verticale.

Tracez le triangle rectangle comme indiqué , et vous verrez que vous trouvez les composantes horizontales et verticales en utilisant les identités trigonométriques:
\\ text {cos} \\; θ \u003d \\ frac {\\ text {adjacent}} {\\ text {hypotenuse}} \\ text {sin} \\; θ \u003d \\ frac {\\ text {opposé}} {\\ text {hypoténuse}}

Donc ceux-ci peuvent être réorganisés (et avec opposé \u003d v
_{y et adjacent \u003d v
x, c'est-à-dire la composante de vitesse verticale et les composantes de vitesse horizontale respectivement, et hypoténuse \u003d v
0, la vitesse initiale) pour donner:
v_x \u003d v_0 cos (θ) \\\\ v_y \u003d v_0 sin (θ)}

[insérer le diagramme]

C'est toute la trigonométrie que vous devrez faire pour résoudre les problèmes de mouvement du projectile: brancher l'angle de lancement dans le équation, en utilisant les fonctions sinus et cosinus de votre calculatrice et en multipliant le résultat par la vitesse initiale du projectile.

Donc, pour passer par un exemple de ce faire, avec une vitesse initiale de 20 m /s et un angle de lancement de 60 degrés, les composants sont:
\\ begin {aligné} v_x &\u003d 20 \\; \\ text {m /s} × \\ cos (60) \\\\ &\u003d 10 \\; \\ text {m /s } \\\\ v_y &\u003d 20 \\; \\ text {m /s} × \\ sin (60) \\\\ &\u003d 17.32 \\; \\ text {m /s} \\ end {aligné} Exemple de problème de mouvement de projectile: un feu d'artifice explosant

Imag un feu d'artifice a un fusible conçu pour exploser au point le plus élevé de sa trajectoire et il est lancé à une vitesse initiale de 60 m /s à un angle de 70 degrés par rapport à l'horizontale.

Comment feriez-vous déterminer à quelle hauteur h
il explose? Et quel serait le temps à partir du lancement quand il explose?

C'est l'un des nombreux problèmes qui impliquent la hauteur maximale d'un projectile, et l'astuce pour les résoudre est de noter qu'à la hauteur maximale, le < em> y
- la composante de la vitesse est de 0 m /s pendant un instant. En branchant cette valeur pour v
_{y et en choisissant la plus appropriée des équations cinématiques, vous pouvez facilement résoudre ce problème et tout problème similaire.}

Tout d'abord, en examinant les équations cinématiques , celui-ci saute (avec des indices ajoutés pour montrer que nous travaillons dans le sens vertical):
v_y ^ 2 \u003d v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y

Cette équation est idéale car vous connaissez déjà l'accélération ( a
_{y \u003d - g
), la vitesse initiale et l'angle de lancement (afin que vous puissiez déterminer la composante verticale v
y0) . Puisque nous recherchons la valeur de s
y (c'est-à-dire la hauteur h
) lorsque v
y \u003d 0, nous pouvons remplacer zéro par la composante de vitesse verticale finale et réorganiser les s
y:
0 \u003d v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y −2a_ys_y \u003d v_ {0y} ^ 2 s_y \u003d \\ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}}

Comme il est logique d'appeler la direction ascendante y
, et puisque l'accélération due à la gravité g
est dirigée vers le bas (c'est-à-dire dans la direction - y
), nous pouvons changer a
_{y pour - g
. Enfin, en appelant s
y la hauteur h
, nous pouvons écrire:
h \u003d \\ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}}

Donc la seule chose dont vous avez besoin pour résoudre le problème est la composante verticale de la vitesse initiale, ce que vous pouvez faire en utilisant l'approche trigonométrique de la section précédente. Donc, avec les informations de la question (60 m /s et 70 degrés par rapport au lancement horizontal), cela donne:
\\ begin {aligné} v_ {0y} &\u003d 60 \\; \\ text {m /s} × \\ sin (70) \\\\ &\u003d 56.38 \\; \\ text {m /s} \\ end {aligné}

Vous pouvez maintenant résoudre la hauteur maximale:
\\ begin {aligné} h &\u003d \\ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\\\ &\u003d \\ frac {(56.38 \\; \\ text {m /s}) ^ 2} {2 × 9.8 \\; \\ text {m /s} ^ 2} \\\\ &\u003d 162.19 \\ text {m} \\ end {aligné}

Le feu d'artifice explosera donc à environ 162 mètres du sol.
Poursuivre l'exemple: temps de vol et distance parcourue

Après avoir résolu le problème bases du problème de mouvement de projectile basé uniquement sur le mouvement vertical, le reste du problème peut être résolu facilement. Tout d'abord, le temps écoulé depuis le lancement de l'explosion du fusible peut être trouvé en utilisant l'une des autres équations d'accélération constante. En regardant les options, l'expression suivante:
s_y \u003d \\ bigg (\\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \\ bigg) t \\\\

a le temps t
, c'est ce que vous voulez savoir; le déplacement, que vous connaissez pour le point maximum du vol; la vitesse verticale initiale; et la vitesse au moment de la hauteur maximale (que l'on sait nulle). Donc, sur la base de cela, l'équation peut être réorganisée pour donner une expression pour le temps de vol:
s_y \u003d \\ bigg (\\ frac {v_ {0y}} {2} \\ bigg) t \\\\ t \u003d \\ frac {2s_y} {v_ {0y}}

Ainsi, l'insertion des valeurs et la résolution de t
donne:
\\ begin {aligné} t &\u003d \\ frac {2 × 162.19 \\; \\ text {m}} {56,38 \\; \\ text {m /s}} \\\\ &\u003d 5.75 \\; \\ text {s} \\ end {aligné}

Ainsi, le feu d'artifice explosera 5,75 secondes après le lancement.

Enfin, vous pouvez facilement déterminer la distance horizontale parcourue sur la base de la première équation, qui (dans le sens horizontal) indique:
v_x \u003d v_ {0x} + a_xt

Cependant, notant qu'il n'y a pas d'accélération dans le x
-direction, c'est simplement:
v_x \u003d v_ {0x}

Signifiant que la vitesse dans la direction x
est la même tout au long du trajet du feu d'artifice. Étant donné que v
\u003d d
/ t
, où d
est la distance parcourue, il est facile de voir que d
\u003d vt
, et donc dans ce cas (avec s
_{x \u003d d
):
s_x \u003d v_ {0x} t}

Vous pouvez donc remplacer v
_{0x par l'expression trigonométrique précédente, saisir les valeurs et résoudre:
\\ begin {aligné} s_x &\u003d v_0 \\ cos (θ) t \\\\ &\u003d 60 \\; \\ text {m /s} × \\ cos (70) × 5.75 \\; \\ text {s} \\\\ &\u003d 118 \\; \\ text {m} \\ end {aligné}}

Il voyagera donc environ 118 m avant l'explosion.
Problème supplémentaire de mouvement de projectile: le feu d'artifice Dud

Pour un problème supplémentaire sur lequel travailler, imaginez le feu d'artifice de l'exemple précédent (vitesse initiale de 60 m /s lancée à 70 degrés à l'horizontale) n'a pas explosé au sommet de sa parabole, et atterrit à la place sur le sol sans exploser. Pouvez-vous calculer la durée totale du vol dans ce cas? À quelle distance du site de lancement dans le sens horizontal atterrira-t-il, ou en d'autres termes, quelle est la portée
du projectile?

Ce problème fonctionne essentiellement de la même manière, où les composantes verticales de la vitesse et du déplacement sont les principaux éléments dont vous devez tenir compte pour déterminer le temps de vol, et à partir de là, vous pouvez déterminer la portée. Plutôt que de travailler en détail sur la solution, vous pouvez résoudre ce problème vous-même sur la base de l'exemple précédent.

Il existe des formules pour la portée d'un projectile, que vous pouvez rechercher ou déduire des équations d'accélération constante, mais ce n'est pas vraiment nécessaire car vous connaissez déjà la hauteur maximale du projectile, et à partir de ce moment, il est juste en chute libre sous l'effet de la gravité.

Cela signifie que vous pouvez déterminer le temps que prend le feu d'artifice pour tomber retour au sol, puis ajoutez ceci au temps de vol à la hauteur maximale pour déterminer le temps de vol total. À partir de là, c'est le même processus d'utilisation de la vitesse constante dans le sens horizontal à côté du temps de vol pour déterminer la portée.

Montrez que le temps de vol est de 11,5 secondes et la portée est de 236 m, notant dont vous aurez besoin pour calculer la composante verticale de la vitesse au point où elle touche le sol en tant qu'étape intermédiaire.