En mathématiques, une fonction est une règle qui relie chaque élément d'un ensemble, appelé domaine, à exactement un élément d'un autre ensemble, appelé plage. Sur un axe x-y, le domaine est représenté sur l'axe x (axe horizontal) et le domaine sur l'axe y (axe vertical). Une règle qui relie un élément du domaine à plusieurs éléments de la plage n'est pas une fonction. Cette exigence signifie que, si vous tracez un graphique d'une fonction, vous ne pouvez pas trouver une ligne verticale qui traverse le graphique à plusieurs endroits.

TL; DR (trop long; n'a pas lu)

Une relation n'est une fonction que si elle relie chaque élément de son domaine à un seul élément de la plage. Lorsque vous tracez le graphique d'une fonction, une ligne verticale l'intersecte en un seul point.
Représentation mathématique

Les mathématiciens représentent généralement les fonctions par les lettres "f (x)", bien que toutes les autres lettres fonctionnent aussi bien . Vous lisez les lettres comme «f de x». Si vous choisissez de représenter la fonction comme g (y), vous la lirez comme "g de y". L'équation de la fonction définit la règle selon laquelle la valeur d'entrée x est transformée en un autre nombre. Il existe un nombre infini de façons de procéder. Voici trois exemples:

f (x) \u003d 2x

g (y) \u003d y ^{2 + 2y + 1}

p (m) \u003d 1 /√ (m - 3)
Détermination du domaine

L'ensemble des nombres pour lesquels la fonction "fonctionne" est le domaine. Il peut s'agir de tous les nombres ou d'un ensemble spécifique de nombres. Le domaine peut également être composé de tous les nombres sauf un ou deux pour lesquels la fonction ne fonctionne pas. Par exemple, le domaine de la fonction f (x) \u003d 1 /(2-x) est tous les nombres sauf 2, car lorsque vous entrez deux, le dénominateur est 0 et le résultat n'est pas défini. Le domaine pour 1 /(4 - x ^{2), d'autre part, est tous les nombres sauf +2 et -2 car le carré de ces deux nombres est 4.}

Vous pouvez également identifier le domaine d'une fonction en regardant son graphe. En partant de l'extrême gauche et en se déplaçant vers la droite, tracez des lignes verticales à travers l'axe des x. Le domaine est toutes les valeurs de x pour lesquelles la ligne coupe le graphique.
Quand une relation n'est-elle pas une fonction?

Par définition, une fonction relie chaque élément du domaine à un seul élément du intervalle. Cela signifie que chaque ligne verticale que vous tracez à travers l'axe des x peut couper la fonction en un seul point. Cela fonctionne pour toutes les équations linéaires et les équations de puissance supérieure dans lesquelles seul le terme x est élevé à un exposant. Cela ne fonctionne pas toujours pour les équations dans lesquelles les termes x et y sont élevés à une puissance. Par exemple, x ^{2 + y 2 \u003d a 2 définit un cercle. Une ligne verticale peut couper un cercle en plusieurs points, donc cette équation n'est pas une fonction.}

En général, une relation f (x) \u003d y est une fonction uniquement si, pour chaque valeur de x qui vous vous y connectez, vous n'obtenez qu'une seule valeur pour y. Parfois, la seule façon de savoir si une relation donnée est une fonction ou non est d'essayer différentes valeurs pour x pour voir si elles donnent des valeurs uniques pour y.

Exemples: Les équations suivantes définissent-elles des fonctions?

y \u003d 2x +1 C'est l'équation d'une droite avec la pente 2 et l'ordonnée à l'origine 1, c'est donc une fonction.

y2 \u003d x + 1 Soit x \u003d 3. La valeur de y peut alors être ± 2, ce n'est donc PAS une fonction.

y ^{3 \u003d x 2 Quelle que soit la valeur que nous fixons pour x, nous n'obtiendrons qu'une seule valeur pour y, c'est donc une fonction.}

y ^{2 \u003d x 2 Parce que y \u003d ± √x 2, ceci N'EST PAS une fonction.}